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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:07 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Andi |
| Aufgabe | Eine kreisförmige Zielscheibe vom Radius 1 sei unterteilt in drei konzentrische Ringe, deren Ränder die Kreise mit Radius [mm] \bruch{1}{3} [/mm] und [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sind. Auf die Scheibe werde n mal (unabhängig voneinander) geschossen, die Einschlagpunkte seien gleichmäßig über die Zielscheibe verteilt. Mit [mm] H_n(A), H_n(B) [/mm] und [mm] H_n(C) [/mm] bezeichnen wir die Zahl der Treffer in Ring A, bzw. B, bzw C.
Berechnen sie [mm] $Cov(H_n(A), H_n(B))$ [/mm] |
Hallo,
[mm]
Cov(H_n(A), H_n(B))=E((H_n(A) - E(H_n(B))(H_n(B)-E(H_n(A)))=E(H_n(A)*H_n(B))+E(H_n(A))*E(H_n(B))[/mm]
Nun habe ich [mm] H_n(A) [/mm] und [mm] H_n(B) [/mm] mit Hilfe der Indikatorfunktion ausgedrückt:
[mm] H_n(A)=\summe_{k=1}^{n} I_{X_i \in A}[/mm]
[mm] H_n(B)=\summe_{k=1}^{n} I_{X_i \in B}[/mm]
Außerdem konnte ich die Erwartungswerte [mm] E(H_n(A)) [/mm] und [mm] E(H_n(B)) [/mm] ausrechnen:
[mm]E(H_n(A))=\summe_{k=1}^{n} P_{X_i \in A}=n*\bruch{1}{9}[/mm]
[mm]E(H_n(B))=\summe_{k=1}^{n} P_{X_i \in B}=n*\bruch{5}{36}[/mm]
Ist bis hierher alles richtig?
Wenn ja .... dann fehlt mir jetzt die entscheidende Idee,
wie ich [mm] $E(H_n(A)*H_n(B))$ [/mm] berechnen kann.
Für Hinweise und Tipps wäre ich sehr dankbar.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:16 Mi 26.03.2008 | | Autor: | luis52 |
> Hallo,
Hallo Andi,
> [mm] Cov(H_n(A), H_n(B))=E((H_n(A) - E(H_n(B))(H_n(B)-E(H_n(A)))=E(H_n(A)*H_n(B))+E(H_n(A))*E(H_n(B))[/mm]
Hier muss [mm] $E(H_n(A)*H_n(B))-E(H_n(A))*E(H_n(B))$ [/mm] stehen.
>
> Nun habe ich [mm]H_n(A)[/mm] und [mm]H_n(B)[/mm] mit Hilfe der
> Indikatorfunktion ausgedrückt:
> [mm]H_n(A)=\summe_{k=1}^{n} I_{X_i \in A}[/mm]
> [mm]H_n(B)=\summe_{k=1}^{n} I_{X_i \in B}[/mm]
>
> Außerdem konnte ich die Erwartungswerte [mm]E(H_n(A))[/mm] und
> [mm]E(H_n(B))[/mm] ausrechnen:
> [mm]E(H_n(A))=\summe_{k=1}^{n} P_{X_i \in A}=n*\bruch{1}{9}[/mm]
> [mm]E(H_n(B))=\summe_{k=1}^{n} P_{X_i \in B}=n*\bruch{5}{36}[/mm]
>
> Ist bis hierher alles richtig?
>
> Wenn ja .... dann fehlt mir jetzt die entscheidende Idee,
> wie ich [mm] $E(H_n(A)*H_n(B))$ [/mm] berechnen kann.
Wegen der Unabhaengigkeit ist [mm] $E(H_n(A)*H_n(B))=E(H_n(A))*E(H_n(B))$.
[/mm]
vg Luis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Mi 26.03.2008 | | Autor: | luis52 |
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> Hmm .... hier habe ich irgendwie Bauchschmerzen.
> Es die einzelnen Schüsse sind zwar unabhängig, aber [mm]H_n(A)[/mm]
> und [mm]H_n(B)[/mm]
> sind doch nicht unabhängig voneinander, oder?
> Denn wenn ich insgesammt n-mal Schieße, dann beeinflussen
> doch
> die Treffer im Bereich A direkt die Anzahl der Treffer im
> Bereich B.
> [mm]H_n(B)=n-H_n(A)-H_n(C)[/mm]
>
Hallo Andi, du hast zurecht Bauchschmerzen, entschuldigung. War zu voreilig.
Schau mal im Internet nach "Multinomialverteilung". Das ist eine
Verallgemeinerung der Binomialverteilung, bei der nur zwei Ereignisse
auftreten koennen. In deinem Fall koennen drei Ereignisse auftreten,
im allgemeinen $k$.
vg Luis
PS: Nachtrag: ![[]](/images/popup.gif) Hier findest du eine Formel fuer die Kovarianz.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Luis,
> Hallo Andi, du hast zurecht Bauchschmerzen, entschuldigung.
> War zu voreilig.
Kein Problem! Vielleicht wolltest du ja auch nur ausprobieren,
ob ich wirklich mitdenke  .
> Schau mal im Internet nach "Multinomialverteilung". Das ist
> eine
Hab ich gemacht:
Es ist also [mm] Cov(H_n(A); H_n(B))=-n*\bruch{1}{9}*\bruch{5}{36} [/mm], oder?
Dann bedanke ich mich recht sehr für die Hilfe!
Viele Grüße,
Andi
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
