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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Do 14.08.2014 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Beweise folgendes Lemma:
Assume that $X,Y$ are two standard normal random variables:
$E(X)=E(Y)=0$ and $Var(X)=Var(Y)=1$.
Assume that E(XY)=q. Then
[mm] $E[(X^2-1)(Y^2-1)]=2q^2$. [/mm] |
Hallo Leute!
Bei obigem Lemma handelt es sich um Lemma 2.6.5 aus "Stochastic Calculus for Fracional Brownian Motion and Related Processes" (2008) von Frau Prof. Yuliya Mishura.
Ich habe mich an einem Beweis zu diesem Lemma versucht, doch bisher keine passende Umformung gefunden. Es gilt:
[mm] E[(X^2-1)(Y^2-1)]&=E[(X^2Y^2-X^2-Y^2+1)]=E[X^2Y^2]-E[X^2]-E[Y^2]+1=E[(XY)^2]-1.
[/mm]
Zudem muss [mm] $q\le [/mm] 1$ sein denn:
[mm] q=E(XY)\le\wurzel{E(X^2)}\wurzel{E(Y^2)}=1.
[/mm]
Mein Problem ist jetzt, dass das Quadrat im Erwartungswert drinnen steht (,also [mm] $E[(XY)^2]$). [/mm] Da [mm] $q^2=(E[XY])^2$ [/mm] ist, muss ich das Quadrat aus dem Erwartungswert irgendwie rausziehen. Aber wie? Hat jemand von euch eine Idee?
Viele Grüße
DerGraf
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Hallo,
wären die Zufallsvariablen unabhängig, so könnte man mittels
[mm] $\operatorname{Var}(XY) [/mm] = [mm] E(X^2) E(Y^2) [/mm] - [mm] [E(X)]^{2} [E(Y)]^{2} [/mm] $
vorgehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Do 14.08.2014 | | Autor: | DerGraf |
Hallo MaslanyFanclub,
vielen Dank für deine Mitteilung. Der Fall q=0 beschreibt nur einen Sonderfall. Mein q kann aber alle Werte von -1 bis 1 annehmen. Deshalb kann ich leider nicht von Unabhängigkeit ausgehen.
Viele Grüße
DerGraf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Fr 15.08.2014 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ich weiss nicht, ob das Folgende zum Ziel fuehrt, aber vielleicht bringt es ja doch etwas.
Ich unterstellte, dass $(X,Y)'$ *bivariat normalverteilt* ist (das steht
nicht in deiner Formulierung der Frage). Durch $E(XY)=q$ ist die
Verteilung eindeutig festgelegt. Nun google mal bivariate normal
distribution moments.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Fr 15.08.2014 | | Autor: | DerGraf |
Hallo Luis,
vielen Dank für deine Antwort. Du meinst, ich soll
[mm] \vektor{X \\ Y}\sim N\left(\vektor{0 \\ 0},\pmat{ 1 & q \\ q & 1 }\right)
[/mm]
annehmen, wofür es eine Dichtefunktion gibt und ich die Momente somit nachrechnen kann? Die Idee klingt interessant.
Im Laufe des heutigen Tages bin ich über Umformungen mit Varianzen, Kovarianzen und durch das Aufaddieren einer 0 selbst zum Ergebnis gekommen. Ganz direkt.
Viele Grüße
DerGraf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Fr 15.08.2014 | | Autor: | luis52 |
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> Im Laufe des heutigen Tages bin ich über Umformungen mit
> Varianzen, Kovarianzen und durch das Aufaddieren einer 0
> selbst zum Ergebnis gekommen. Ganz direkt.
>
Prima, koenntest du deine Rechnung bitte einmal zeigen?
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