Erweiterungsfaktor Rechteck < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aus dieser Verteilungsdichte [mm] \rho [/mm] ( y) kann die
Überdeckungswahrscheinlichkeit p für jeden Wert der erweiterten Messunsicherheit
U durch die Integralrelation
[mm] p(U)=\int_{y-U}^{y+U} \rho(y')dy'
[/mm]
bestimmt werden. Die Umkehrung dieser Relation ergibt die erweiterte Messunsicherheit
als Funktion der Überdeckungswahrscheinlichkeit U = U ( p ) für die
gegebene Verteilungsdichte [mm] \rho [/mm] ( y) . Mit Hilfe dieser Beziehung kann der Erweiterungsfaktor
schließlich wie folgt ausgedrückt werden:
[mm] k(p)=\frac{U(p)}{u(y)}
[/mm]
Die Überdeckungswahrscheinlichkeit
für eine Rechteckverteilung ist linear mit der erweiterten Messunsicherheit
verknüpft ( a ist die Halbweite der Rechteckverteilung):
[mm] p=\frac{U}{a}
[/mm]
Die Auflösung dieser Beziehung nach der erweiterten Messunsicherheit U und das
Einsetzen des Ergebnisses zusammen mit dem Ausdruck der Standardmessunsicherheit
für eine Rechteckverteilung gemäß Gl. (3.8) der DKD-3 (engl. EA-4/02) ergibt
schließlich die Beziehung
[mm] k(p)=p\cdot \sqrt{3} [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich kämpfe gerade mit der "Angabe der Messunsicherheiten bei Kalibrierungen" DKD-3-E2 und tue mich da bei einem mathematischen Hinweis sehr schwer udn zwar verstehe ich nicht, wie ich von meiner Dichtefunktion der Rechteckverteilung
[mm] \rho(x)&=\begin{cases}
\frac{1}{2a}& \text{ f"ur } x_0-a\le x\le x_0+a\\
0 & \text{sonst}
\end{cases}
[/mm]
den Erweiterungsfaktor heraus bekomme. Mit der obigen Beschreibung kann ich leider gar nichts anfangen.
Wie ich von [mm] p=\frac{U}{a} [/mm] zu dem Erweiterungsfaktor komme, habe ich mal nachstehend nachvollzogen, allerdings sind mir die schritte davor total unklar.
Wäre jemand so lieb und würde mir das Schritt für Schritt erklären?
Die Überdeckungswahrscheinlichkeit für eine Rechteckverteilung ist linear mit der erweiterten Messunsicherheit verkn"upft
[mm] p=\frac{U}{a},
[/mm]
wobei a aus der nachstehenden Gleichung
[mm] \sigma^2 =u^2=E(x^2)-(E(x))^2=\int\limits_{x_0-a}^{x_0+a} x^2=\frac{1}{3}a^2
[/mm]
mit [mm] \sigma^2 [/mm] als Varianz, [mm] \rho(x) [/mm] als Dichtefunktion und [mm] \mu [/mm] als Erwartungswert ermittelt wird:
[mm] a=\sqrt{3}\cdot [/mm] u.
Mit a als Halbweite der Rechteckverteilung ergibt sich die erweiterte Messunsicherheit U:
[mm] U=p\cdot \sqrt{3}\cdot u_c=k\cdot u_c
[/mm]
mit [mm] u=u_c [/mm] als kombinierte [mm] Standardabweichung.\\
[/mm]
Somit lautet der Erweiterungsfaktor
[mm] k(p)=p\cdot \sqrt{3},
[/mm]
mit p als [mm] "Uberdeckungswahrscheinlichkeit.\\\\
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Sa 11.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
das ist alles ziemlich durcheinander. Ich schreibe mal das hin was ich verstehe:
> Aus dieser Verteilungsdichte [mm] \rho(y) [/mm] kann die Überdeckungswahrscheinlichkeit p
> für jeden Wert der erweiterten Messunsicherheit U durch die Integralrelation
> [mm] p(U)=\int_{y-U}^{y+U} \rho(y')dy'
[/mm]
> bestimmt werden.
Das entspricht der Wahrscheinlichkeit das der Messwert im Intervall [y-U, y+U] liegt. Ist die Dichte [mm] \rho(y)=\br{1}{2a} [/mm] und gilt y<a dann folgt [mm] p(U)=\br{U}{a}
[/mm]
> Die Umkehrung dieser Relation ergibt die erweiterte Messunsicherheit
> als Funktion der Überdeckungswahrscheinlichkeit U=U(p) für die
> gegebene Verteilungsdichte [mm] \rho(y).
[/mm]
Also [mm] U(p)=p\cdot{a}
[/mm]
> Mit Hilfe dieser
> Beziehung kann der Erweiterungsfaktor
> schließlich wie folgt ausgedrückt werden:
> [mm]k(p)=\frac{U(p)}{u(y)}[/mm]
Ist es richtig das u(y) die Streuung darstellen soll?
> Die Überdeckungswahrscheinlichkeit
> für eine Rechteckverteilung ist linear mit der
> erweiterten Messunsicherheit
> verknüpft ( a ist die Halbweite der Rechteckverteilung):
> [mm]p=\frac{U}{a}[/mm]
s.o.
> Die Auflösung dieser Beziehung nach der erweiterten
> Messunsicherheit U und das
> Einsetzen des Ergebnisses zusammen mit dem Ausdruck der
> Standardmessunsicherheit
> für eine Rechteckverteilung gemäß Gl. (3.8) der DKD-3
> (engl. EA-4/02) ergibt
> schließlich die Beziehung
> [mm]k(p)=p\cdot \sqrt{3}[/mm]
[mm] k(p)=\br{U(p)}{u(y)}=\br{p*a}{\sigma}=\br{p*a}{\br{a}{\wurzel{3}}}=p*\wurzel{3} [/mm] mit [mm] \sigma=\br{a}{\wurzel{3}}
[/mm]
> Hallo zusammen!
> Ich kämpfe gerade mit der "Angabe der Messunsicherheiten
> bei Kalibrierungen" DKD-3-E2 und tue mich da bei einem
> mathematischen Hinweis sehr schwer udn zwar verstehe ich
> nicht, wie ich von meiner Dichtefunktion der
> Rechteckverteilung
> [mm]\rho(x)&=\begin{cases} \frac{1}{2a}& \text{ f"ur } x_0-a\le x\le x_0+a\\ 0 & \text{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> den Erweiterungsfaktor heraus bekomme. Mit der obigen
> Beschreibung kann ich leider gar nichts anfangen.
> Wie ich von [mm]p=\frac{U}{a}[/mm] zu dem Erweiterungsfaktor komme,
> habe ich mal nachstehend nachvollzogen, allerdings sind mir
> die schritte davor total unklar.
> Wäre jemand so lieb und würde mir das Schritt für
> Schritt erklären?
Ist das oben gut genug erklärt wie man auf [mm] U=p\cdot{a} [/mm] kommt?
> Die Überdeckungswahrscheinlichkeit für eine
> Rechteckverteilung ist linear mit der erweiterten
> Messunsicherheit verkn"upft
>
> [mm]p=\frac{U}{a},[/mm]
>
> wobei a aus der nachstehenden Gleichung
> [mm]\sigma^2 =u^2=E(x^2)-(E(x))^2=\int\limits_{x_0-a}^{x_0+a} x^2=\frac{1}{3}a^2[/mm]
>
> mit [mm]\sigma^2[/mm] als Varianz, [mm]\rho(x)[/mm] als Dichtefunktion und
> [mm]\mu[/mm] als Erwartungswert ermittelt wird:
> [mm]a=\sqrt{3}\cdot[/mm] u.
> Mit a als Halbweite der Rechteckverteilung ergibt sich die
> erweiterte Messunsicherheit U:
>
> [mm]U=p\cdot \sqrt{3}\cdot u_c=k\cdot u_c[/mm]
>
> mit [mm]u=u_c[/mm] als kombinierte [mm]Standardabweichung.\\[/mm]
> Somit lautet der Erweiterungsfaktor
>
> [mm]k(p)=p\cdot \sqrt{3},[/mm]
>
> mit p als [mm]"Uberdeckungswahrscheinlichkeit.\\\\[/mm]
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| Aufgabe | Sind die beiden Unsicherheitsbeitr"age rechteckverteilt mit Halbweiten [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$, [/mm] so l"asst sich die H"ohe des jeweiligen Rechteckes [mm] $b_1$ [/mm] und [mm] $b_2$ [/mm] wie folgt bestimmen
[mm] b_1=\frac{1}{2\cdot a_1}\hspace{2cm}\text{und}\hspace{2cm} b_2=\frac{1}{2\cdot a_2}.
[/mm]
Aus der Faltung der beiden Rechteckverteilungen resultiert eine symmetrische Trapezverteilung mit den Halbweiten
[mm] a=a_1+a_2\hspace{2cm}\text{und}\hspace{2cm} [/mm] c= [mm] |a_1-a_2|,
[/mm]
Die Dichtefunktion der Trapezverteilung lautet
[mm] \rho(x)=\begin{cases}
0, & \text{wenn } -\infty
Der Erweiterungsfaktor wird wie in Aufgabenstellung 1 bestimmt und lautet
:
[mm] k(p)=\frac{1}{\sqrt{\frac{1+\beta^2}{6}}}\cdot \begin{cases}
\frac{p\cdot(1+\beta)}{2}, & \text{wenn } \frac{p}{2-p}<\beta\\
1-\sqrt{(1-p)(1-\beta^2)},& \text{wenn } \beta\le \frac{p}{2-p}
\end{cases}
[/mm]
wobei $p$ der "Uberdeckungswahrscheinlichkeit (i.d.R. [mm] 95\%) entspricht.$\beta$ [/mm] wird als Knickpunktparameter bezeichnet, der das Verh"altnis der L"angen der oberen zu der unteren Trapezseite bestimmt. Dieser Parameter wird wie folgt bestimmt:
[mm] \beta=\frac{c}{a}=\frac{ |a_1-a_2|}{a_1+a_2} [/mm] |
Hallo!
Also das mit der Rechteckverteilung und ihrem Erweiterungsfaktor habe ich super verstanden und ja, u(y) ist die Standardmessunsicherheit.
Jetzt stehe ich vor dem Problem, den Erweiterungsfaktor der Trapezverteilung herzuleiten, und zwar glaube ich, dass es an meinen Integrationsgrenzen liegt!
Folgendes habe ich gemacht und weiß nun nicht weiter:
[mm] p(U)_1&=\int_{y-a}^{y-b} \frac{1}{b^2-a^2}\cdot(a+y)dy\\
[/mm]
[mm] &=\left[ -\frac{y(2a+y)}{2(a^2-b^2)}\right] _{y-a}^{y-b}\\
[/mm]
[mm] &=-\frac{1}{2(a^2-b^2)}\cdot ((y-b)(2a+y-b)-(y-a)(2a+y-a))\\
[/mm]
[mm] &=-\frac{1}{2(a^2-b^2)}\cdot (2ay+y^2-2yb-2ab+b^2-(2ay+y^2-ay-2a^2-ay+a^2))\\
[/mm]
[mm] &=-\frac{1}{2(a^2-b^2)}\cdot (2ay+y^2-yb-2ab-by+b^2-2ay-y^2+ay+2a^2+ay-a^2)\\
[/mm]
[mm] &=-\frac{1}{2(a^2-b^2)}\cdot (-2yb-2ab+b^2+2ay+a^2)\\
[/mm]
[mm] &=-\frac{1}{2(a^2-b^2)}\cdot (-2yb+2ay+a^2-2ab+b^2)\\
[/mm]
[mm] &=-\frac{1}{2(a^2-b^2)}\cdot (2y(a-b)+(a-b)^2)\\
[/mm]
[mm] &=-\frac{1}{2(a-b)(a+b)}\cdot (2y(a-b)+(a-b)^2)\\
[/mm]
[mm] &=\frac{-2y-a+b}{2(a+b)}\\\\
[/mm]
[mm] p(U)_2&=\int_{y-b}^{y+b} \frac{1}{a+b}dy\\
[/mm]
[mm] &=\frac{1}{a+b}\cdot \left[ y\right] _{y-b}^{y+b}\\
[/mm]
[mm] &=\frac{1}{a+b}\left((y+b)-(y-b)\right)\\
[/mm]
[mm] &=\frac{2b}{a+b}\\\\
[/mm]
bzw. hier wäre es mit U möglich, das ist ja die Rechteckverteilung:
[mm] p(U)_2&=\int_{y-U}^{y+U} \frac{1}{a+b}dy\\
[/mm]
[mm] &=\frac{1}{a+b}\cdot \left[ y\right] _{y-U}^{y+U}\\
[/mm]
[mm] &=\frac{1}{a+b}\left((y+U)-(y-U)\right)\\
[/mm]
[mm] &=\frac{2U}{a+b}\\\\
[/mm]
[mm] p(U)_3&=\int_{y+b}^{y+a} \frac{1}{a^2-b^2}\cdot(a-y)dy\\
[/mm]
[mm] &=\left[ \frac{ay-\frac{y^2}{2}}{a^2-b^2}\right] _{y+b}^{y+a}\\
[/mm]
&= [mm] \frac{1}{2(a^2-b^2)}\cdot (-2y(a-b)+(a-b)^2)\\
[/mm]
[mm] &=\frac{1}{2(a-b)(a+b)}\cdot (-2y(a-b)+(a-b)^2)\\
[/mm]
[mm] &=\frac{-2y+a-b}{2(a+b)}
[/mm]
So, jetzt habe ich natürlich bei [mm] p(U)_1 [/mm] und [mm] p(U)_2 [/mm] kein U drin, was habe ich falsch gemacht?
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte!!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 So 19.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
erstmal einige Frage, was ist [mm] x_0. [/mm] Also wenn [mm] x_0\ne{0} [/mm] gilt haben wir keine Trapezverteilung mehr weil gilt:
[mm] \br{a+x_0-b}{b^2-a^2}\ne\br{1}{a+b}
[/mm]
Zweite Frage:
Ich geh davon aus a>b gelten soll. Ist b auch definiert? Und gilt in der zweiten Definition der Dichte [mm] \br{a+x}{b^2-a^2} [/mm] oder [mm] \br{a+x}{a^2-b^2}?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Mo 20.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
leider gings nicht früher, vielleich nutzts ja trotzdem noch was.
1) Die Dichte habe ich mal ohne das [mm] x_0 [/mm] bzw. für [mm] x_0=0 [/mm] definiert und den zweiten Term korrigiert in [mm] \br{1}{a^2-b^2} [/mm] also
[mm] \rho(x)=\begin{cases} 0, & \text{wenn } -\infty
2) Aus der Dichte folgt die Verteilungsfunktion durch Integration der einzelnen Abschnitte der Dichte. Die Integration erfolgt jedesmal vom Anfang des Intervalls bis x plus dem Wert des letzten Abschnittes der Verteilungsfunktion. Damit wird
[mm] F(x)=\begin{cases} 0, & \text{wenn } -\infty
3) Ich gehe davon aus das die Wahrscheinlichkeit p(U) symetrisch um den Erwartungswert zu berechnen ist, da ja später U(p) mit [mm] \sigma [/mm] verglichen wird und [mm] \sigma [/mm] ja auch mittelwertfrei ist. Weiter unten wird gezeigt das gilt E(x)=0. Also berechne ich p(U) symetrisch zu 0.
[mm] p(U)=\integral_{-U}^{U}{\rho(x) dx}=F(U)-F(-U)
[/mm]
Hier kann man zwei Fälle unterscheiden.
Fall 1: [mm] b\le{U}\le{a} [/mm] dann gilt [mm] -a\le-U\le-b [/mm] und p ergibt sich zu
[mm] p=\br{1}{2}\br{a^2+2aU-2b^2-U^2}{a^2-b^2}-\br{1}{2}\br{(a-U)^2}{a^2-b^2}
[/mm]
U(p) wird durch auflösen der Gleichung nach U bestimmt und ergibt [mm] U(p)=a-\wurzel{(1-p)(a^2-b^2)}
[/mm]
Fall 2: -b<U<b dann ergibt sich p zu [mm] p=\br{1}{2}\br{a+b+2U}{a+b}-\br{1}{2}\br{a+b-2U}{a+b}
[/mm]
U(p) wird durch auflösen der Gleichung nach U ermittelt und ergibt [mm] U(p)=\br{p}{2}*(a+b)
[/mm]
4) Berechnen des Mittelwerts einer trapezverteilten Zufallsvariblen
Es wird für jeden Abschnitt der Dichte das Integral [mm] \integral_{ }^{ }{x*\rho(x) dx} [/mm] in den jeweiligen Grenzen berechnet.
[mm] E_1=\integral_{-a }^{-b }{x*\rho(x) dx}=\br{b^2}{3(a+b)}-\br{a}{6}
[/mm]
[mm] E_2=\integral_{ -b}^{b }{x*\rho(x) dx}=0
[/mm]
[mm] E_3=\integral_{ b}^{a }{x*\rho(x) dx}=-\br{b^2}{3(a+b)}+\br{a}{6}
[/mm]
ergibt gesamt E=0
5) Berechnen der Varianz
Zuerst werden die jeweiligen zweiten Momente berechnet
[mm] V_1=\integral_{-a }^{-b }{x^2*\rho(x) dx}=\br{(a-b)(a^2+2ab+3b^2)}{12(a+b)}
[/mm]
[mm] V_2=\integral_{ -b}^{b }{x^2*\rho(x) dx}=\br{2b^3}{3(a+b)}
[/mm]
[mm] V_3=\integral_{ b}^{a }{x^2*\rho(x) dx}=-\br{(a-b)(a^2+2ab+3b^2)}{12(a+b)}
[/mm]
ergibt zusammen [mm] V=\br{a^2+b^2}{6} [/mm] also [mm] \sigma=\wurzel{\br{a^2+b^2}{6}}
[/mm]
Da der Erwrtungswert E=0 ist, stimmt das zweite Moment mit der Varianz überein.
6) Erweiterungsfaktor berechnen
[mm] k(p)=\br{U(p)}{\sigma} [/mm] also
[mm] k(p)=\br{1}{\wurzel{\br{a^2+b^2}{6}}}\begin{cases} \br{p}{2}*(a+b)
, & \mbox{für } \br{p}{2}(a+b)b \end{cases}
[/mm]
und das sollte mit der Definition von [mm] \beta=\br{b}{a} [/mm] in die verlangte Form umrechenbar sein.
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