Erzeugende Elemente < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Mi 12.01.2005 | | Autor: | squeezer |
Hallo
Ich hab folgende Aufgabe zu bearbeiten:
Bestimmen Sie dass alle erzeugenden Elemente der Einheitengruppe [mm] ((\IZ/13 \IZ)\*,*) [/mm] und berechnen Sie ord(a) für alle a [mm] \in (\IZ/13 \IZ)\*.
[/mm]
Also ich weiss ja weil 13 ne Primzahl ist dass es dann in dem Ring [mm] (\IZ'/13 \IZ)\* [/mm] keine Nullteiler gibt, deshalb ja auch die Einheitengruppe...
Nur ist mir jetzt nicht klar was ich mir genau unter dem a aus a [mm] \in (\IZ'/13 \IZ)\* [/mm] vorstellen soll. Ist das einfach ne Restklasse?
Desweiteren weiss ich nicht genau was die Ordnung hier soll, und wie man das Problem angehen könnte?
Hat jemand ne Idee.
Danke
MfG
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Mi 12.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi Marc
> Hallo
>
> Ich hab folgende Aufgabe zu bearbeiten:
> Bestimmen Sie dass alle erzeugenden Elemente der
> Einheitengruppe [mm]((\IZ/13 \IZ)\*,*)[/mm] und berechnen Sie ord(a)
> für alle a [mm]\in (\IZ/13 \IZ)\*.
[/mm]
>
> Also ich weiss ja weil 13 ne Primzahl ist dass es dann in
> dem Ring [mm](\IZ'/13 \IZ)\*[/mm] keine Nullteiler gibt, deshalb ja
> auch die Einheitengruppe...
hier gilt sogar, dass [m] \mathbb{Z}/13 \mathbb{Z} [/m] ein körper ist, aber das nur am rande ...
> Nur ist mir jetzt nicht klar was ich mir genau unter dem a
> aus a [mm]\in (\IZ'/13 \IZ)\*[/mm] vorstellen soll. Ist das einfach
> ne Restklasse?
genau. [m] (\mathbb{Z}/13 \mathbb{Z})^\times [/m] besteht aus den restklasse, die multiplokative inverse haben und da es sich hier um einen körper handelt sind dass alle außer der null, also: [m] (\mathbb{Z}/13 \mathbb{Z})^\times = \{ \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \hdots, \overline{12} \} [/m], wobei [m] \overline{a} [/m] die restlasse von [m] a \in \mathbb{Z} [/m] bezeichne.
> Desweiteren weiss ich nicht genau was die Ordnung hier
> soll, und wie man das Problem angehen könnte?
die ordnung von [m] \overline{a} [/m] ist die kleinste natürliche zahl $n$, so dass [m] \overline{a}^n = \overline{1} [/m] - oder anders ausgedrück, die ordnung der von [m] \overline{a} [/m] erzeugten zyklischen untergruppe.
um diese zu berechnen musst du einfach die potenzen aller elemente aus [m] (\mathbb{Z}/13 \mathbb{Z})^\times [/m] berechnen und schauen, wann diese zum ersten mal [mm] $\overline{1} [/mm] $ ergeben.
das erste ist ganz einfach [m] \overline{1}^1 = \overline{1} [/m] - also [m] \textrm{ord} \, (\overline{1}) = 1 [/m]
[m] \overline{2}^1 = \overline{2} \not= \overline{1} [/m], [m] \overline{2}^2 = \overline{4} \not= \overline{1} [/m], [m] \overline{2}^3 = \overline{8} \not= \overline{1} [/m], [m] \overline{2}^4 = \overline{16} = \overline{3} \not= \overline{1} [/m], [m] \overline{2}^5 = \overline{32} = \overline{6} \not= \overline{1} [/m], [m] \overline{2}^6 = \overline{64} = \overline{12} \not= \overline{1} [/m], ... [m] \overline{2}^{12} = \overline{4096} = \overline{1} [/m], also [m] \textrm{ord} \, (\overline{2}) = 12 [/m]
das kannst du jetzt brute-force so weiter rechnen. oder ihr hattet vielleicht einen satz, der besagt, dass die ordnung der untergruppe (also die anzahl der untergruppenelemente) die ordnung der gruppe (also die anzahle der gruppen elemente) teilt. was kommen dann hier noch für ordnungen in frage?
ein erzeugendes element ist einfach ein element, dessen potenzen die gesamte gruppe darstellen, also eines mit ordnung 12.
ich hoffe damit kommst du nun weiter, wenn nicht frage nach!
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 Mi 12.01.2005 | | Autor: | squeezer |
Hmm ok das ganze ist mir jetzt schon um einiges klarer geworden,. Ich versuche das ganze dann mal anzuwenden.
vielen dank
mfg
Marc
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