Erzeugende Elemente, Ordnung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 So 19.02.2006 | | Autor: | DAB268 |
| Aufgabe | a) Wie viele erzeugende Elemente hat die Gruppe [mm] $(Z_{41}^{\*},\cdot [/mm] )$ der primen
Restklassen mod 41?
b) Hat [mm] $(Z_{41}^{\*},\cdot [/mm] )$ eine Untergruppe U der Ordnung $|U| =12$ ? (Begründung) |
Hi.
Da 41 eine Primzahl ist, ist [mm] $Z_{41}^{\*}={1,2,\hdots,40}$
[/mm]
Also bei der a) hatte ich im Kopf, dass man wenn man ein erzeugendes Element e gefunden hat, alle anderen durch [mm] e^i [/mm] berechnen kann.
6 ist hierbei das kleinste erz. Element. somit müsste [mm] 6^2=36 [/mm] ebenfalls erzeugend sein. Maple sagt mir hier jedoch, dass es dies nicht ist.
Zu b)
Es sollte doch keine Untergruppe U geben mit |U|=12, da Lagrange besagt, dass wenn G eine Untergruppe besitzt, so gilt |U| teilt |G|
Bitte um Korrektur/Hilfe...
MfG
DAB268
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 So 19.02.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> a) Wie viele erzeugende Elemente hat die Gruppe
> [mm](Z_{41}^{\*},\cdot )[/mm] der primen
> Restklassen mod 41?
> b) Hat [mm](Z_{41}^{\*},\cdot )[/mm] eine Untergruppe U der Ordnung
> [mm]|U| =12[/mm] ? (Begründung)
> Hi.
>
> Da 41 eine Primzahl ist, ist [mm]Z_{41}^{\*}={1,2,\hdots,40}[/mm]
>
> Also bei der a) hatte ich im Kopf, dass man wenn man ein
> erzeugendes Element e gefunden hat, alle anderen durch [mm]e^i[/mm]
> berechnen kann.
> 6 ist hierbei das kleinste erz. Element. somit müsste
> [mm]6^2=36[/mm] ebenfalls erzeugend sein. Maple sagt mir hier
> jedoch, dass es dies nicht ist.
Muss ich noch nachprüfen!
> Zu b)
> Es sollte doch keine Untergruppe U geben mit |U|=12, da
> Lagrange besagt, dass wenn G eine Untergruppe besitzt, so
> gilt |U| teilt |G|
Exakt, weil |G|= 40 und 12 teilt nich 40!
Gruß Micha 
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Hallo,
verwende dazu die Euler'sche Phi-Funktion. 41 ist primzahl. Damit ist die multiplikative Gruppe zyklisch von der Ordnung
[mm] m=40=2^{3}*5. [/mm] Die Anzahl ist dann
[mm] \varphi(m)=\varphi(2^{3})*\varphi(5)=4*4=16.
[/mm]
Einverstanden?
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 So 19.02.2006 | | Autor: | DAB268 |
Soweit bin ich jetzt einverstanden, aber wie finde ich die erzeugenden Elemente ohne alle 40 Zahlen durchzugehen?
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Hallo,
das sind ja dann gerade die Primitivwurzeln mod(41). Es gibt kein "schönes" Verfahren, um diese zu bestimmen. Da bleibt nichts anderes als Probieren, aber das war doch gar nicht verlangt oder?
Nachtrag: Eine Sache gibt es doch. Sei p Primzahl und g eine ganze Zahl g nicht kongruent 0 mod(p). g ist genau dann Primitivwurzel mod(p), wenn
[mm] g^{(p-1)/q} [/mm] nicht kongruent 1 mod(p) für alle Primteiler q|(p-1).
Aber auch hier musst du alle durchprobieren!
Viele Grüße
Daniel
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