Erzeugende Funktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
durch Berechnung der erzeugenden Funktion soll gezeigt werden, dass für die geometrische Verteilung
P(X = x) = p(1 - [mm] p)^{x - 1}, [/mm] x [mm] \in \IN
[/mm]
gilt:
E(X) = [mm] \bruch{1}{p}, [/mm] Var(X) = [mm] \bruch{1 - p}{p^2}.
[/mm]
In der Musterlösung steht nur drin:
Erzeugende Funktion: p(z) = [mm] \bruch{pz}{1 - (1 - p)z}
[/mm]
Die erzeugende Funktion ist anderswo folgendermaßen definiert:
"Sei X eine Zufallsvariable, die die Werte i [mm] \in \IN_0 [/mm] mit den Wahrscheinlichkeiten [mm] p_i [/mm] annimmt. Dann heißt
p(z) = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} p_i z^i
[/mm]
die erzeugende Funktion der Verteilung."
Ich komme hiermit auf folgende erzeugende Funktion:
p(z) = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] p(1 - [mm] p)^{i - 1} z^i
[/mm]
p(z) - (1 - p)z * p(z) = pz - p(1 - [mm] p)^n z^{n + 1}
[/mm]
p(z) = [mm] \bruch{pz(1 - (1 - p)^n z^n)}{1 - (1 - p)z}
[/mm]
Mir ist ja durchaus klar, dass für z = 1 der Nenner gegen pz geht, aber es findet ja gar keine Ersetzung z := 1 statt, sonst müsste die Musterlösung ja lauten
[mm] \bruch{p}{1 - (1 - p)}
[/mm]
Kann mir einer erkären, wie man nun von [mm] \bruch{pz(1 - (1 - p)^n z^n)}{1 - (1 - p)z} [/mm] auf [mm] \bruch{pz}{1 - (1 - p)z} [/mm] bzw. was an meiner Rechnung evtl. falsch ist?
Gruß und Danke,
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Fr 21.02.2020 | | Autor: | Fulla |
Hallo Martin!
> Hallo,
>
> durch Berechnung der erzeugenden Funktion soll gezeigt
> werden, dass für die geometrische Verteilung
>
> P(X = x) = p(1 - [mm]p)^{x - 1},[/mm] x [mm]\in \IN[/mm]
>
> gilt:
>
> E(X) = [mm]\bruch{1}{p},[/mm] Var(X) = [mm]\bruch{1 - p}{p^2}.[/mm]
>
> In der Musterlösung steht nur drin:
>
> Erzeugende Funktion: p(z) = [mm]\bruch{pz}{1 - (1 - p)z}[/mm]
>
> Die erzeugende Funktion ist anderswo folgendermaßen
> definiert:
>
> "Sei X eine Zufallsvariable, die die Werte i [mm]\in \IN_0[/mm] mit
> den Wahrscheinlichkeiten [mm]p_i[/mm] annimmt. Dann heißt
>
> p(z) = [mm]\summe_{i=0}^{\infty} p_i z^i[/mm]
>
> die erzeugende Funktion der Verteilung."
>
> Ich komme hiermit auf folgende erzeugende Funktion:
>
> p(z) = [mm]\summe_{i=1}^{\infty}[/mm] p(1 - [mm]p)^{i - 1} z^i[/mm] [mm]\quad(\ast)[/mm]
>
> p(z) - (1 - p)z * p(z) = pz - p(1 - [mm]p)^n z^{n + 1}[/mm]
>
> p(z) = [mm]\bruch{pz(1 - (1 - p)^n z^n)}{1 - (1 - p)z}[/mm]
Wo kommt denn das [mm]n[/mm] hier her?
> Mir ist ja durchaus klar, dass für z = 1 der Nenner gegen
> pz geht, aber es findet ja gar keine Ersetzung z := 1
> statt, sonst müsste die Musterlösung ja lauten
>
> [mm]\bruch{p}{1 - (1 - p)}[/mm]
Wenn [mm]z=1[/mm] gesetzt wird, kann da nichts gegen [mm]pz[/mm] gehen, da ja [mm]z=1[/mm] ist...
> Kann mir einer erkären, wie man nun von [mm]\bruch{pz(1 - (1 - p)^n z^n)}{1 - (1 - p)z}[/mm]
> auf [mm]\bruch{pz}{1 - (1 - p)z}[/mm] bzw. was an meiner Rechnung
> evtl. falsch ist?
Eher Letzteres... Du kannst (*) in eine geometrische Reihe umformen, indem du [mm]p[/mm] und ein [mm]z[/mm] aus der Summe rausziehst und eine Indexverschiebung durchführst. Siehe dazu Beispiel 5.1.8 (3) in http://biostat.userweb.mwn.de/teaching/statIII2005/skript/kap05.pdf
> Gruß und Danke,
>
> Martin
Lieben Gruß
Fulla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 Sa 22.02.2020 | | Autor: | sancho1980 |
Hallo
> Wo kommt denn das [mm]n[/mm] hier her?
Das war ein Bisschen schlampig geschrieben; statt
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] p(1 - [mm] p)^{i - 1} z^i
[/mm]
war natürlich gemeint:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} [/mm] p(1 - [mm] p)^{i - 1} z^i
[/mm]
> Eher Letzteres... Du kannst (*) in eine geometrische Reihe
> umformen, indem du [mm]p[/mm] und ein [mm]z[/mm] aus der Summe rausziehst und
> eine Indexverschiebung durchführst. Siehe dazu Beispiel
> 5.1.8 (3) in
> http://biostat.userweb.mwn.de/teaching/statIII2005/skript/kap05.pdf
Ok, danke für den Link. Dass die erzeugende Funktion nur für solche z [mm] \in \IR [/mm] definiert ist, für welche die Summe konvergiert, davon stand in meinem Buch nichts, und damit macht das ganze Sinn!
Gruß
Martin
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