Erzeugende Funktion, Folgen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Finde einen geschlossenen Ausdruck für die Glieder der Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] , die
der Rekursion [mm] a_n [/mm] = [mm] a_{n-1}+2a_{n-2}+(−1)^n [/mm] mit den Anfangsbedingungen a0 = a1 = 1 genügt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gelöst werden soll dies mit Hilfe der erzeugenden Funktion.
Nach dem "Rezept" aus dem Skriptum:
Multiplizieren mit [mm] z^n:
[/mm]
[mm] a_n*z^n [/mm] = [mm] a_{n-1}*z^n+2a_{n-2}*z^n+(−1)^n*z^n
[/mm]
Summieren über alle [mm] n\ge [/mm] k, k=Ordnung der Rekursion (Hier besteht zwar noch kein Problem für mich, allerdings ist mir nicht ganz klar, warum bei k begonnen wird zu summieren?):
[mm] \sum_{n=3}^{\infty}a_n*z^n [/mm] = [mm] \sum_{n=3}^{\infty}a_{n-1}*z^n+\sum_{n=3}^{\infty}2a_{n-2}*z^n+\sum_{n=3}^{\infty}(-1)^n*z^n
[/mm]
Nun das ganze zu einer rationalen Funktion umformen. Dazu die fehlenden/ überschüssigen Folgengleider addieren/ abziehen um [mm] A(Z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n*z^n [/mm] einfügen zu können. Bei dem Schritt bin ich mir ziemlich unsicher.
Deswegen dazu meine Frage bevor ich damit weiterrechne. Hab ich das so richtig umgeformt.
[mm] A(z)-a_2*z^2-a_1*z-a_0=(A(z)-a_0)*z+(A(z)-2a_1-2a_0)z^2+\bruch{1}{z+1}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 12.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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