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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Sa 25.05.2013 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | | In einer Zentrale kommen pro Stunde N [mm] \sim [/mm] Poi(λ) Anrufe an, jeder Anruf wird an einen der n Sachbearbeiter weitergeleitet. Für i [mm] \in [/mm] {1, . . . , n} sei [mm] p_i [/mm] die Wahrscheinlichkeit, dass ein Anruf an den Bearbeiter i weitergeleitet wird. Wenn alle betrachteten Ereignisse unabhängig sind, welche Verteilung hat die Anzahl [mm] N_i [/mm] der beim Bearbeiter i pro Stunde eintreffenden Anrufe? |
Wir hatten in der Vorlesung einen Satz, der besagt:
Wenn [mm] N,X_1,X_2,... [/mm] unabhängige [mm] \IN_0 [/mm] wertige Zufallsvariablen sind, so dass [mm] X_1,... [/mm] alle die gleiche Verteilung haben. Mit [mm] S_N(w):=\summe_{i=1}^{N(w)}X_i(w) [/mm] folgt dann [mm] g_S_N(t)=g_N\circ g_x_1)(t) [/mm] für alle t [mm] \in [/mm] [-1,1] wobei g die erzeugenden Funktionen sind.
Ich komme bei der Aufgabe auf keinen Ansatz. Hilft mir der Satz etwas? Die Aufgabe soll auch mit erzeugenden Funktionen gelöst werden.
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Hallo,
> In einer Zentrale kommen pro Stunde N [mm]\sim[/mm] Poi(λ) Anrufe
> an, jeder Anruf wird an einen der n Sachbearbeiter
> weitergeleitet. Für i [mm]\in[/mm] {1, . . . , n} sei [mm]p_i[/mm] die
> Wahrscheinlichkeit, dass ein Anruf an den Bearbeiter i
> weitergeleitet wird. Wenn alle betrachteten Ereignisse
> unabhängig sind, welche Verteilung hat die Anzahl [mm]N_i[/mm] der
> beim Bearbeiter i pro Stunde eintreffenden Anrufe?
>
> Wir hatten in der Vorlesung einen Satz, der besagt:
> Wenn [mm]N,X_1,X_2,...[/mm] unabhängige [mm]\IN_0[/mm] wertige
> Zufallsvariablen sind, so dass [mm]X_1,...[/mm] alle die gleiche
> Verteilung haben. Mit [mm]S_N(w):=\summe_{i=1}^{N(w)}X_i(w)[/mm]
> folgt dann [mm]g_S_N(t)=g_N\circ g_x_1)(t)[/mm] für alle t [mm]\in[/mm]
> [-1,1] wobei g die erzeugenden Funktionen sind.
> Hilft mir der
> Satz etwas?
Ja.
> Die Aufgabe soll auch mit erzeugenden
> Funktionen gelöst werden.
Sei $i [mm] \in \{1,...,n\}$ [/mm] fest (Wir betrachten also nur einen festen Bearbeiter i).
Überlege dir, dass gilt (mit den Notationen aus der Aufgabenstellung): [mm] $N_i [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{N}X_k$,
[/mm]
wobei [mm] $X_k [/mm] = 1$, wenn der Anruf an den Bearbeiter $i$ weitergeleitet wird, und [mm] $X_k [/mm] = 0$ sonst.
Dann sind die [mm] $X_k$ [/mm] iid [mm] $Bernoulli(p_i)$-verteilt, [/mm] und du kannst mit deinem Satz die Erzeugendenfunktion von [mm] $N_i$ [/mm] berechnen. Daraus kannst du die Verteilung bestimmen.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:46 So 26.05.2013 | | Autor: | yangwar1 |
Es gilt dann [mm] g_X_1 (t)=\summe_{k=0}^{\infty}P(X_1=k)*t^k=P(X_1=0)+P(X_1=1)*t=(1-p_i)+p_i*t
[/mm]
und [mm] g_N(t)=exp(-\lambda)*exp(\lambda*t) [/mm] da N [mm] \sim Poi(\lambda).
[/mm]
Damit folgt dann [mm] g_N_i (t)=g_N (1-p_i+p_i*t)=exp(-\lambda)*exp(\lambda*(1-p_i+p_i*t))
[/mm]
Wie kommt man davon jetzt auf die Verteilung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 So 26.05.2013 | | Autor: | luis52 |
> und [mm]g_N(t)=exp(-\lambda)*exp(\lambda*t)[/mm] da N [mm]\sim Poi(\lambda).[/mm]
M.E. muss es [mm]g_N(t)=exp(-\lambda)*exp(e^{\lambda*t})[/mm] lauten. Wenn ich das weiter verfolge gelange *ich* zu keiner mir bekannten MEF. Stefan?
vg luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 So 26.05.2013 | | Autor: | yangwar1 |
Wir haben in der Vorlesung bewiesen, dass [mm] g_N (t)=\summe_{k=0}^{\infty}exp(-\lambda)*\bruch{\lambda ^k}{k!}*t^k=exp(-\lambda)*exp(\lambda [/mm] *t) gilt. Wie kommst du jetzt auf [mm] g_N(t)=exp(-\lambda)\cdot{}exp(e^{\lambda\cdot{}t})
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 So 26.05.2013 | | Autor: | luis52 |
> Wir haben in der Vorlesung bewiesen, dass [mm]g_N (t)=\summe_{k=0}^{\infty}exp(-\lambda)*\bruch{\lambda ^k}{k!}*t^k=exp(-\lambda)*exp(\lambda[/mm]
> *t) gilt. Wie kommst du jetzt auf
> [mm]g_N(t)=exp(-\lambda)\cdot{}exp(e^{\lambda\cdot{}t})[/mm]
Ah, okay. Ich dachte, die momenterzeugende waere gemeint. Mein Einwand hat sich damit erledigt.
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 So 26.05.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin,
wenn aber
$ [mm] g_N_i (t))=\exp(-\lambda)\cdot{}\exp(\lambda\cdot{}(1-p_i+p_i\cdot{}t)) [/mm] $
die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist, so stehst du kurz vor der Loesung:
$ [mm] g_N_i (t))=\exp(-\lambda+\lambda(1-p_i+p_it))= \exp(\lambda p_i(t-1)) [/mm] $,
was die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion einer Poisson-Verteilung mit Parameter [mm] $\lambda p_i$ [/mm] ist.
vg Luis
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