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Erzeugenden funktion: Korrektur
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:54 Fr 09.01.2015
Autor: LGS

Aufgabe
Die Zufallsvariable $X $ sei negativ binomialverteilt mit Parametern $r [mm] \in \IN$ [/mm] und $p [mm] \in [/mm] (0,1).$ Die Zähldichte von $X$ ist somit gegeben durch

$P(X=k)= [mm] \binom{r+k-1}{k}*p^r+(1-p)^k [/mm] = [mm] \binom{-r}{k}p^r(p-1)^k [/mm] $ für  $ k [mm] \in \IN_0$ [/mm]

$a) $Bestimmen sie die erzeugende Funktion [mm] $f_X$ [/mm] von $X$

$b)$ Sei auch $Y $eine negativ binomialverteilte Zufallsvariabel mit parametern $s [mm] \in \IN$ [/mm] und $p$,die von$ X $unabhängig ist.Bestimmen sie die Verteilung $X+Y$

$c)$ Bestimmen sie $E(X)$ und $Var(X)$

$a) [mm] m_X(t) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\binom{-r}{k}p^r(p-1)^k*t^k =p^r*\summe_{i=1}^{\infty}\binom{-r}{k}(p-1)^k*t^k [/mm]  =  [mm] p^r*\summe_{i=1}^{\infty}\binom{-r}{k}(p-1*t)^k [/mm] = [mm] p^r*\summe_{i=1}^{\infty}\binom{-r}{k}(-(1-p)*t)^k [/mm] = [mm] p^r*(1-(1-p)*t)^{-r}= \frac{ p^r}{(1-(1-p)*t)^r} [/mm] = [mm] (\frac{p}{(1-(1-p)*t)})^r [/mm] $

das gilt falls $|t|< [mm] \frac{1}{(1-(1-p)*t)},$ [/mm]
weil sonst würde der Nenner null werden

$b)  [mm] m_X(t) [/mm] = [mm] (\frac{p}{(1-(1-p)*t)})^r, m_Y(t)=(\frac{p}{(1-(1-p)*t)})^s$ [/mm]

[mm] $m_X(t) *m_Y(t)=m_{X+Y}(t)=(\frac{p}{(1-(1-p)*t)^2})^{r+s}=\frac{ p^{r+s}}{(1-(1-p)*t)^2^{r+s}}= p^{r+s}* \frac{1}{(1-(1-p)*t)^2)^{r+s}}= p^{r+s}*\summe_{i=1}^{\infty} \binom{-(r+s)}{k}((1-(1-p)*t)^2)^k [/mm] $


c) habe ich leider keine Ahnung...:/

        
Bezug
Erzeugenden funktion: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 So 11.01.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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