Erzeugendensys. mit unbekannte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Mi 31.10.2007 | | Autor: | gobodan |
| Aufgabe | | Für welche [mm] t \in \IR [/mm] sind die Vektoren (1,3,4), (3,t,11), (-1,-4,0) ein Erzeugendensystem für [mm] \IR^3 [/mm] |
Guten Tag.
Kann mir jemand bei der Lösung dieser Aufgabe helfen.
Hier mein Ansatz:
Damit die Vektoren eine Erzeugendensystem bilden muss ja jeder Vektor aus [mm] \IR^3 [/mm] als Linearkombination von den geg. Vektoren dargestellt werden können. Richtig?
Das muss dann also so aussehen:
[mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 3 \\ t \\ 11 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
Und jetzt? Soll ich dann irgendwie das Lin. GS nach t auflösen?
Danke schon mal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Für welche [mm]t \in \IR[/mm] sind die Vektoren (1,3,4), (3,t,11),
> (-1,-4,0) ein Erzeugendensystem für [mm]\IR^3[/mm]
> Guten Tag.
> Kann mir jemand bei der Lösung dieser Aufgabe helfen.
> Hier mein Ansatz:
>
> Damit die Vektoren eine Erzeugendensystem bilden muss ja
> jeder Vektor aus [mm]\IR^3[/mm]Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
als Linearkombination von den geg.
> Vektoren dargestellt werden können. Richtig?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ja, das "Erzeugendensystem" hast Du schon richtig beschrieben.
Ich gehe davon aus, daß Ihr auch die Begriffe basis und Dimension schon behandelt habt.
Du hast hier ja drei Vektoren vorliegen, Der \IR^3 hat die Dimension 3, d.h. jede Basis enthät drei Elemente.
Eine basis ist ja ein minimales Erzeugendensystem. Wenn also Deine 3 Vektoren den \IR^3 erzeugen sollen, müssen sie zwangsläufig linear unabhängig sein, sonnst kann es nicht klappen.
Somit jkann man den Arbeitsauftrag auch so formulieren: für welche t sind die drei Vektoren linear unabhängig.
Das entscheidest Du durchs Lösen des GSs
begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 3 \\ t \\ 11 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}
Für die t, für welche man nur die Lösung x=y=z=0 findet, ist die Menge linear unabhängig, also eine Basis, also ein (minimales) Erzeugendensystem.
Gruß v. Angela
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