Erzeugendensystem < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Smex |
| Aufgabe | Seien [mm] a_1=\{1,3,2\} [/mm] , [mm] a_2=\{-1,0,1\} [/mm] , [mm] a_3=\{1,1,0\} ,a_4=\{1,2,3\} [/mm] in [mm] \IR^3.
[/mm]
(a) Zeige, dass [mm] \{a_1,a_2,a_3,a_4\} [/mm] ein Erzeugendensystem von [mm] \IR^3 [/mm] ist.
(b) Finde alle Untermengen von [mm] \{a_1,a_2,a_3,a_4\} [/mm] die eine Basis bilden. |
zu (a): Also zur Überprüfung muss ich doch meine Vektoren in ein Gleichungssystem einsetzten und gleich einem vektor [mm] b_1,b_2,b_3 [/mm] setzten. Aber dann habe ich das Problem, dass ich 4 Variablen und nur 3 Gleichungen habe und daher das GS nicht eindeutig lösbar ist.
Hab ich da jetzt irgendwo nen Denkfehler drin, oder wie ist das?
Kann mir vielleicht jemand nen Tipp geben?
zu (b): Ich muss doch dann nur noch alle Kombinationen von [mm] a_1,a_2,a_3 [/mm] und [mm] a_4 [/mm] finden, die linear unabhängig sind, oder?
Vielen Dank
Lg Simon
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Seien [mm]a_1=\{1,3,2\}[/mm] , [mm]a_2=\{-1,0,1\}[/mm] , [mm]a_3=\{1,1,0\} ,a_4=\{1,2,3\}[/mm]
> in [mm]\IR^3.[/mm]
> (a) Zeige, dass [mm]\{a_1,a_2,a_3,a_4\}[/mm] ein Erzeugendensystem
> von [mm]\IR^3[/mm] ist.
> (b) Finde alle Untermengen von [mm]\{a_1,a_2,a_3,a_4\}[/mm] die
> eine Basis bilden.
> zu (a): Also zur Überprüfung muss ich doch meine Vektoren
> in ein Gleichungssystem einsetzten und gleich einem vektor
> [mm]b_1,b_2,b_3[/mm] setzten. Aber dann habe ich das Problem, dass
> ich 4 Variablen und nur 3 Gleichungen habe und daher das GS
> nicht eindeutig lösbar ist.
> Hab ich da jetzt irgendwo nen Denkfehler drin, oder wie ist
> das?
> Kann mir vielleicht jemand nen Tipp geben?
Hallo,
daß das GS eindeutig zu lösen ist, ist nicht zu erwarten, denn Du hast heir ja 4 Vektoren vorliegen, und die Dimension des [mm] \IR^3 [/mm] ist bloß =3.
Bei der Frage nach "Erzeugendensystem" geht es nicht um die eindeutige Lösbarkeit. Entscheidend ist, daß Du jeden Vektor des [mm] \IR^3 [/mm] als Linearkombination aus den zur Debatte stehenden Vektoren darstellen kannst. Wenn das auf 137 Arten möglich ist, ist das kein Nachteil.
Eine andere Lösungsmöglichkeit ist die, daß Du aus den 4 Vekoren drei herausfischst, v. denen Du zeigen kannst, daß sie linear unabhängig sind. Da der [mm] \IR^3 [/mm] die Dimension 3 hat, weißt Du dann, daß diese 3 linear unabhängigen Vektren eine Basis sind, also ein Erzeugendensystem. Somit kann deine Menge nicht anders, als den [mm] \IR^3 [/mm] zu erzeugen.
Voraussetzung für diesen weg ist, daß Basis und Dimension bereits eingeführt sind, und daß es Euch bekannt ist, daß alle Basen gleichmächtig sind.
>
> zu (b): Ich muss doch dann nur noch alle Kombinationen von
> [mm]a_1,a_2,a_3[/mm] und [mm]a_4[/mm] finden, die linear unabhängig sind,
> oder?
Ich nehme mal an, daß Du die finden sollst, die eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] bilden.
Das bedeutet, daß Du sämtliche linear unabhängigen Teilmengen, die aus drei Vektoren bestehen, aufspüren mußt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 So 25.11.2007 | | Autor: | Smex |
Ja natürlich, ich hatte überhaupt nicht bedacht, dass der Raum ja schon von 3 Vektoren erzeugt werden kann und ich deshalb gar nicht alle 4 benötige.
Vielen Dank
Lg Smex
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