Erzeugendensystem < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Mi 03.12.2008 | | Autor: | marc1001 |
| Aufgabe | | Bildet das System der Vektoren v1= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] , v2= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] , v3= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^3? [/mm] Begründe |
Reicht es hier nicht einfach die lineare Unabhängigkeit zu beweise?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Dath |
Wie lautet denn die Definition eines Erzeugendensystems?
Wenn du das weißt, dann ist die Aufgabe ganz einfach.
Mal als Tipp: Jedes Erzeugendensystem spannt einen (Unter-)Raum auf. Dabei ist [mm]R_{2}[/mm] ein Unterraum von[mm]R_{3}[/mm]
Lineare Unabhängigkeit ist dabei leider nicht ausreichend, aber es hilft dir zu finden, dass 2 Vektoren linear abhängig sind.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Mi 03.12.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
das stimmt in diesem Fall, weil du weißt, dass die Dimension 3 ist und somit ein Erzeugendensystem aus drei Vektoren schon eine Basis sein muss, d.h. die drei Vektoren müssen linear unabhängig sein. Sind sie aber nicht, da ja zwei Vektoren schon gleich sind. Komische Aufgabe... 
LG djmatey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Mi 03.12.2008 | | Autor: | marc1001 |
Ich habe leider einen Fehler gemacht v3 = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}!!
[/mm]
Und die definition ist doch folgende: wenn sich jeder Vektor $ v [mm] \in \mathbb{R}^n$ [/mm] als eine Linearkombination der $ [mm] v_i$ [/mm] schreiben läßt.
Also dann doch einfach die lineare Unabhängigikeit?!! oder > Hallo,
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Mi 03.12.2008 | | Autor: | djmatey |
Also,
damit du ein Erz.system hast, musst du jeden Vektor [mm] v\in\IR^{3} [/mm] als Linearkombination der drei angegebenen Vektoren schreiben können.
Allgemein reicht dafür nicht die lineare Unabhängigkeit aus.
Das reicht hier nur, weil du weißt, dass du im Fall der linearen Unabhängigkeit schon eine Basis hast und somit auch ein Erz.system.
LG djmatey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Mi 03.12.2008 | | Autor: | marc1001 |
Aber woher weis ich , dass ich eine Basis habe ? Sorry aber das Thema geht mir nicht richtig rein :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Mi 03.12.2008 | | Autor: | fred97 |
1. Jede Basis des [mm] \IR^3 [/mm] besteht aus 3 lin. unabh. Vektoren.
2. Jede Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ist ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^3
[/mm]
3. Sind 3 lin. unabh. Vektoren des [mm] \IR^3 [/mm] gegeben, so bilden diese eine Basis.
Das müßte zur beantwortung der Frage ausreichen.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Do 04.12.2008 | | Autor: | marc1001 |
Ok .
Aber dann reicht also doch wenn zeige , dass die Vektoren linear Unabhängig sind.
Damit wäre [mm] \IR^3 [/mm] eine Basis und somit auch Erzeugendensystem.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 Do 04.12.2008 | | Autor: | Dath |
Ja.
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