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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Vektoren [mm] u1=\vektor{2+i \\ 1+1} [/mm] und [mm] u2=\vektor{1-i \\ 4-3i} [/mm] ein Erzeugendensystem des [mm] \IC [/mm] Vektorraumes [mm] \IC^2 [/mm] bilden. |
Hallo zusammen,
Da [mm] \IC^2 [/mm] dim=2 hat, muss das Erzeugendensystem ja mind. 2 lin. unab. Elemente besitzen, also muss ich einfach die lineare Unabhängigkeit von u1 und u2 zeigen mit:
[mm] \alpha_{1} \vektor{2+i \\ 1+1}+ \alpha_{2} \vektor{1-i \\ 4-3i}=0
[/mm]
NUR für [mm] \alpha_{1}=\alpha_{2}=0
[/mm]
Um das zu zeigen, kann ich ja erstmal mit [mm] \alpha_{1} [/mm] und [mm] \alpha_{2} [/mm] ausmultiplizieren und erhalte:
1) [mm] 2\alpha_{1}+\alpha_{1}i+\alpha_{2}-\alpha_{2}i=0
[/mm]
2) [mm] \alpha_{1}+\alpha_{1}i+4\alpha_{2}-3\alpha_{2}i=0
[/mm]
wenn ich 1 nun ordne habe ich doch einfach nur eine Addition zweier komplexen Zahlen, nämlich:
[mm] (2\alpha_{1}+\alpha_{1}i)+(\alpha_{2}-\alpha_{2}i)=0
[/mm]
[mm] =(2\alpha_{1}+\alpha_{2})+(\alpha_{1}-\alpha_{2})i=0
[/mm]
Und das ist nur=0, wenn beide Summanden=0 sind, wobei man aus dem 2. Summanden entnehmen kann, dass nur=0, wenn [mm] \alpha_{1}=\alpha_{2}
[/mm]
Daraus kann man folgern, dass wenn das gelten soll, man in dem ersten Summanden nur eine 0 stehen hat wenn [mm] \alpha_{1}=\alpha_{2}=0
[/mm]
Aber das ist jetzt nicht sehr mathematisch begründet,
könnte mir vielleicht an der stellle jemand einen mathematisch saubereren Weg zeigen?
Wäre schön, danke schonmal im Voraus!
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
ist dir aufgefallen, dass du allein aus der ersten Gleichung auf [mm] \alpha_1 [/mm] = [mm] \alpha_2 [/mm] = 0 geschlossen hast ? Mit deinem Vorgehen könntest du auch beweisen, dass $ [mm] v1=\vektor{2+i \\ 0} [/mm] $ und $ [mm] v2=\vektor{1-i \\ 0} [/mm] $ ein Erzeugendensystem bilden. Kann das sein ? Wo liegt dein Fehler ? (Hinweis : lies dir die Aufgabenstellung noch mal Wort für Wort (besser : Buchstabe für Buchstabe) durch).
Gruß Sax.
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Ja ich verstehe schon, dass der Schluss wenig Sinn macht, aber ich Frage mich eben warum...
Dass ich die lineare Unabhängig zeigen kann und damit auch das Erzeugendensystem beweise in dem Fall, sollte auch klar sein...
Wenn ich den allgemeinen Ansatz für lineare Unabhängigeit wähle und ausmultipliziere, wo liegt letztlich mein Fehler?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
dein Vorgehen ist ja auch soweit in Ordnung.
Ich stoß dich mal mit der Nase drauf :
> Zeigen Sie, dass die Vektoren $ [mm] u1=\vektor{2+i \\ 1+1} [/mm] $ und $ [mm] u2=\vektor{1-i \\ 4-3i} [/mm] $ ein Erzeugendensystem des IC Vektorraumes $ [mm] \IC^2 [/mm] $ bilden.
Du musst das rot markierte beachten.
Gruß Sax.
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Heißt das wenn ich mit dem Koeffizienten ausmultipliziere, darf ich das nicht wie im reellen machen sondern muss irgendwie „komplex“ ausmultiplizieren?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
ja, sozusagen.
Es heißt, dass deine [mm] \alpha [/mm] komplexe Zahlen sind : [mm] \alpha [/mm] = x+iy, du hast also vier Gleichungen mit vier Unbekannten.
Gruß Sax.
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Wenn ich als Koeffizienten a1=x+iy und a2=u+iv wähle und jetzt das lgs aufstelle, indem ich ausmultipliziere:
(1) (2x-y, x+2y)+(u+v, -u+v)=0
(2) (x-y, x+y)+(4u-3v,-3u+4v)=0
so, auch mit diesen beiden Gleichungen weiß ich nun nicht, wie ich zeigen soll, dass a1=a2=0 ??
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Wenn ich als Koeffizienten a1=x+iy und a2=u+iv wähle und
> jetzt das lgs aufstelle, indem ich ausmultipliziere:
>
> (1) (2x-y, x+2y)+(u+v, -u+v)=0
> (2) (x-y, x+y)+(4u+3v,-3u+4v)=0
>
> so, auch mit diesen beiden Gleichungen weiß ich nun nicht,
> wie ich zeigen soll, dass a1=a2=0 ??
>
> Gruß
Vorzeichenfehler !
Indem du links jeweils die Vektoraddition ausfüherst und die Nullen rechts korrekterweise als (0, 0) schreibst. Jede der vier Nullen gibt dann eine Gleichung, aus dem Gleichungssystem lassen sich die x,y,u,v berechnen.
Gruß Sax.
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Wenn ich also jeweils die linke Seite addiere, bekomme ich:
(1) (2x-y+u+v,x+2y-u+v)=(0,0)
(2) (x-y+4u+3v,x+y-3u+4v)=(0,0)....wie bringt mich das nun weiter?
Gruß
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> Wenn ich also jeweils die linke Seite addiere, bekomme
> ich:
>
> (1) (2x-y+u+v,x+2y-u+v)=(0,0)
>
> (2) (x-y+4u+3v,x+y-3u+4v)=(0,0)....wie bringt mich das nun
> weiter?
>
> Gruß
Hallo,
ich finde die Präsentation Deiner Frage nicht sehr helferfreundlich.
Stell das doch mal im Zusammenhang dar, dann kann man die Angelegenheit verfolgen, ohne hin- und herzuklicken.
So:
Sei
(x+iy)*$ [mm] \vektor{2+i \\ 1+1} [/mm] + [mm] (u+iv)*\vektor{1-i \\ 4-3i} [/mm] = ...
==> ... ==> ... usw.
So sieht man das Wesentliche auf einen Blick.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Fr 26.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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