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Hallo Mitglieder,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielleicht könnte mir jemand nen Denkanstoß zur folgenden Aufgabe geben:
V Vektorraum des [mm] R^4, [/mm] es soll überprüft werden ob gilt: [mm] V=<(1,0,1,1),(-1,1,0,0)>\oplus<(1,0,1,0),(1,1,1,1)>
[/mm]
Meine Überlegungen bis jetzt: Die Vektoren der 2 Erzeugendensystemen sind Basen, d.h. U={(1,0,1,1),(-1,1,0,0)} Basis und dim U = 2. Das selbe für die Vektoren U'={(1,0,1,0),(1,1,1,1)} mit dim U' ebenfalls 2.
Nun ist die Frage, ich habe 2 2-dimensionale Basen, und möchte versuchen durch Addition [mm] (\oplus) [/mm] eine 4-dimensionale Basis zu erzeugen um V aufzuspannen.
Intuitiv, kann V gar nicht aufgespannt werden, da mitm [mm] \oplus [/mm] wieder ein 2 dimensinales Erzeugendensystem rauskommt.
Wie könnte ich es rechnerisch angehen?
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> V Vektorraum des [mm]R^4,[/mm] es soll überprüft werden ob gilt:
> [mm]V=<(1,0,1,1),(-1,1,0,0)>\oplus<(1,0,1,0),(1,1,1,1)>[/mm]
>
> Meine Überlegungen bis jetzt: Die Vektoren der 2
> Erzeugendensystemen sind Basen, d.h.
> U={(1,0,1,1),(-1,1,0,0)} Basis und dim U = 2.
Nein, U ist eine Basis, kein Raum, es muss dim(<U>) = 2
oder dim <U> = 2 heissen.
> Intuitiv, kann V gar nicht aufgespannt werden, da mitm
> [mm]\oplus[/mm] wieder ein 2 dimensinales Erzeugendensystem
> rauskommt.
???
> Wie könnte ich es rechnerisch angehen?
Du musst überprüfen
1. ob $<U>+<U'> = [mm] \IR^4$, [/mm] das heisst ob jedes Element von [mm] $\IR^4$ [/mm] sich als Summe eines Elements von <U> und eines Elements von <U'> erzeugen lässt.
2. ob die Summe direkt ist, d.h. ob [mm] $\cap=\{0\}$
[/mm]
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wie könnte ich überprüfen, dass $ <U>+<U'> = [mm] \IR^4 [/mm] $ ist ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 So 26.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
du musst überprüfen, ob ein allgemeiner Vektor $ [mm] \vektor{r_1\\r_2\\r_3\\r_4}=r \in \IR^4 [/mm] $ als Linearkombination darstellbar ist, also : $ [mm] x_1 *u_1 [/mm] + [mm] x_2 *u_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] *u'_1 + [mm] x_4 [/mm] *u'_2 = r $,
d.h. du musst bei beliebig aber festem r schauen, ob sich folgendes lösen lässt (in Abhängigkeit von den [mm] r_i [/mm] ) :
$ [mm] \pmat{ 1&-1&1&1\\0&1&0&1\\1&0&1&1\\1&0&0&1 } *\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4} =\vektor{r_1\\r_2\\r_3\\r_4} [/mm] $
um dann noch zu sehen, dass der Schnitt leer ist, muss die Lösung des obigen Gleichungssystems eindeutig sein (bzw. wenn r der Nullvektor ist, muss auch x der Nullvektor als einzige Lösung sein - dies ist aber äquivalent, wie man schnell zeigt)
viele Grüße
DaMenge
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Hallo und Danke für Deine schnelle Antwort.
Ich bekomme dann sowas wie:
$ [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = [mm] r_1 [/mm] $
$ [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = [mm] r_2 [/mm] $
$ [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = [mm] r_3 [/mm] $
$ [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_4=r4 [/mm] $
Soll ich jetzt für den Beweis obda einen Vektor $ [mm] \in R^4 [/mm] $ nehmen, oder mit den $ [mm] r_i [/mm] $s weiterrechnen?
Mit den $ [mm] r_i [/mm] $ s würde das GS so aussehen:
$ [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = [mm] r_1 [/mm] $
$ [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = [mm] r_2 [/mm] $
$ [mm] x_2 [/mm] = [mm] r_3 [/mm] $
$ [mm] x_2 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] = [mm] r_4 [/mm] $
und
$ [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = [mm] r_1 [/mm] $
$ [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = [mm] r_2 [/mm] $
$ [mm] -x_4 [/mm] = [mm] r_3 [/mm] $
$ [mm] -x_3 [/mm] = [mm] r_4 [/mm] $
Ist das korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 So 26.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
> Ich bekomme dann sowas wie:
>
> [mm]x_1 - x_2 + x_3 + x_4 = r_1[/mm]
> [mm]x_2 + x_4 = r_2[/mm]
> [mm]x_1 + x_3 + x_4 = r_3[/mm]
> [mm]x_1 + x_4=r4[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Soll ich jetzt für den Beweis obda einen Vektor [mm]\in R^4[/mm]
> nehmen, oder mit den [mm]r_i [/mm]s weiterrechnen?
mit den [mm] r_i [/mm] weiter rechnen !
Du sollst ja zeigen, dass ein allgemeiner Vektor als Linkombi darstellbar ist.
> Mit den [mm]r_i[/mm] s würde das GS so aussehen:
>
> [mm]x_1 - x_2 + x_3 + x_4 = r_1[/mm]
> [mm]x_2 + x_4 = r_2[/mm]
> [mm]x_2 = r_3[/mm]
> [mm]x_2 - x_3 = r_4[/mm]
>
wie kommst du auf die dritte und vierte Gleichung ?
also ich bekomme durch III-I , dass $ [mm] x_2 [/mm] = [mm] r_3 [/mm] - [mm] r_1 [/mm] $
damit folgt aus II , dass $ [mm] x_4 [/mm] = [mm] r_2 [/mm] - [mm] r_3 [/mm] + [mm] r_1 [/mm] $
damit folgt aus IV, dass $ [mm] x_1 [/mm] = [mm] r_4 -r_2 +r_3 -r_1 [/mm] $
und durch III-IV folgt, dass $ [mm] x_3 [/mm] = [mm] r_3 -r_4 [/mm] $
D.h. zu gegebenen r kann man eine Lösung wie oben bestimmen.
Leider sieht man hier nicht, ob diese eindeutig ist, das müsste man ordentlich mit Gauß-algo und erweiterter Koeffizientenmatrix machen !!
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Mi 22.06.2005 | | Autor: | zildjianK |
Hallo leonhard und vielen Dank für Deine Antwort.
Ich werde also für [mm] U\cap\U'={0} [/mm] eine Linearkombination aus Vektoren von U bilden und die mit einer Linearkombination aus den Vektoren von U' gleichsetzen. Dann sollte der Nullvektor rauskommen.
Das ist dann der Basisvektor des Schnittes, der Vektor der sowohl in U als auch in U' vorkommt.
Wenn ich es durchgerechnet habe, melde ich mich nochmal.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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