Erzeugendensystem Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Di 18.11.2008 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | Wählen Sie aus der Liste 3 Polyonome so aus, dass diese ein Erzeugendensystem des Vektorraums [mm] R_{\le1}[x] [/mm] der Polynome vom Grad höchstens gleich 1 sind.
3x + 6
2x
0
4x
-3x-6
-4x |
Hallo,
wäre das dann z. B.
p1(x)=3x+6
p2(x)=2x
p3(x)=0
Da diese ja alle linear unabhängig sind.
Danke im Voraus, Grüße,
Nina
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> Wählen Sie aus der Liste 3 Polynome so aus, dass diese ein
> Erzeugendensystem des Vektorraums [mm]R_{\le1}[x][/mm] der Polynome
> vom Grad höchstens gleich 1 sind.
>
> 3x + 6
> 2x
> 0
> 4x
> -3x-6
> -4x
> Hallo,
>
> wäre das dann z. B.
> p1(x)=3x+6
> p2(x)=2x
> p3(x)=0
>
> Da diese ja alle linear unabhängig sind. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Eine Menge von Polynomen, welche das Nullpolynom
enthält, ist nie linear unabhängig !
Du hast aber darin recht, dass p1,p2,p3 tatsächlich
ein Erzeugendensystem bilden. Ein Erzeugenden-
system muss nämlich gar nicht zwingend linear
unabhängig sein.
Für ein linear unabhängiges Erzeugendensystem
(also eine Basis) würden hier zwei Polynome aus-
reichen, z.B. p1 und p2 oder etwa p4 und p5
(aber z.B. nicht p1 und p5), da der Vektor-
raum nur 2-dimensional ist.
Um nachzuweisen, dass schon p1 und p2 ausreichen,
um den Vektorraum zu erzeugen, müsstest du noch
nachweisen, dass jedes Polynom $\ [mm] p:x\mapsto [/mm] a*x+b$
mit [mm] a,b\in\IR [/mm] sich schreiben lässt als
$\ [mm] p=\lambda_1*p1+\lambda_2*p2$
[/mm]
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Di 18.11.2008 | | Autor: | nina1 |
Achso ok  danke.
Also in der Aufgabenstellung ist unbedingt nach 3 Polynomen gesucht.
Aber wenn sie nicht linear unabhängig sein müssen, dann können ja 3x+6; 2x und 4x dann ein Erzeugendensystem bilden(oder?)
Wie ist das aber mit der Dimension, es ist hier 2-Dimensional? Aber woran erkennt man welche Dimension Polynome im Vektorraum haben? Hat das was mit dem Grad zu tun?
Viele Grüße.
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> Aber wenn sie nicht linear unabhängig sein müssen, dann
> können ja 3x+6; 2x und 4x dann ein Erzeugendensystem
> bilden(oder?)
Hallo,
ja, die sind auch ein Erzeugendensystem des [mm] \IR-Vektorraumes [/mm] der reellen Polynome vom Höchstgrad 1, [mm] \IR[x]_{\le 1}.
[/mm]
>
> Wie ist das aber mit der Dimension, es ist hier
> 2-Dimensional? Aber woran erkennt man welche Dimension
> Polynome im Vektorraum haben?
Halt! Polynome haben keine Dimension.
Eine Dimension hat der Vektorraum der Polynome.
> Hat das was mit dem Grad zu
> tun?
In dem Vektorraum, von dem hier sie Rede ist, sind alle Polynome Linearkombinationen von x und 1. x und 1 bilden zusammen ein Erzeugendensystem. Du kannst Dich davon überzeugen, daß sie linear unabhängig sind. Somit bilden sie eine Basis. Diese Basis besteht - wie jede andere Basis dieses Vektorraumes auch - aus zwei Elementen.
Also hat Dein Vektorraum die Dimension 2.
Gruß v. Angela
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