Erzeugendensysteme < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:06 Di 24.11.2009 | | Autor: | Uni-R09 |
| Aufgabe | Gegeben sei ein endlich erzeugter [mm] \IQ-Vektorraum [/mm] V . Beweisen Sie die folgenden
Aussagen:
(i) Für alle Vektoren [mm] u_1, u_2 [/mm] ∈ V gilt [mm] [/mm] = [mm] .
[/mm]
(ii) Für alle Vektoren [mm] u_1, u_2, u_3 [/mm] ∈ V gilt [mm] [/mm] = [mm] .
[/mm]
(iii) Für alle Vektoren [mm] u_1, u_2, [/mm] ..., [mm] u_n [/mm] ∈ V gilt [mm] [/mm] = [mm] [/mm] + [mm] [/mm] + ... + [mm] [/mm] und die
Summe rechts ist direkt, wenn die Familie [mm] (u_1, [/mm] ..., [mm] u_n) [/mm] linear unabhängig ist.
(iv) Ist [mm] (v_i)_{i\in I} [/mm] ein Erzeugendensystem von V dann existiert eine endliche Teilmenge I′ ⊂ I, so dass [mm] (v_i)_{i\inI′} [/mm] ein Erzeugendensystem von V ist.
Spitze Klammern: lineare Hülle/ Erzeugnis
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Hallo,
bin Mathe Student im ersten Semester... Wir haben folgende Übungsaufgabe gestellt bekommen. Ich hocke schon ziemlich lang an der aufgabe, doch leider hab ich keine Idee wie ich an die aufgabe rangehen soll...
bin shcon am verzweifeln, ob das mathestudium sinn macht oder ob mich der blitz der erleuchtung später noch trifft?
kann mir bitte jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sei ein endlich erzeugter [mm]\IQ-Vektorraum[/mm] V .
> Beweisen Sie die folgenden
> Aussagen:
> (i) Für alle Vektoren [mm]u_1, u_2[/mm] ∈ V gilt [mm][/mm] = [mm].[/mm]
> (ii) Für alle Vektoren [mm]u_1, u_2, u_3[/mm] ∈ V gilt [mm][/mm]
> = [mm].[/mm]
> (iii) Für alle Vektoren
> [mm]u_1, u_2,[/mm] ..., [mm]u_n[/mm] ∈ V gilt [mm][/mm] = [mm][/mm] +
> [mm][/mm] + ... + [mm][/mm] und die
> Summe rechts ist direkt, wenn die Familie [mm](u_1,[/mm] ..., [mm]u_n)[/mm]
> linear unabhängig ist.
> (iv) Ist [mm](v_i)_{i\in I}[/mm] ein Erzeugendensystem von V dann
> existiert eine endliche Teilmenge I′ ⊂ I, so dass
> [mm](v_i)_{i\inI′}[/mm] ein Erzeugendensystem von V ist.
Hallo,
auch hier die Bitte um eigene Lösungsansätze.
In i) mußt Du zeigen:
A. [mm] v\in [/mm] ==> [mm] v\in[/mm] [mm][/mm]
und
B. [mm] v\in[/mm] [mm][/mm] ==> [mm] v\in .
[/mm]
Was bedeutet es denn, wenn [mm] v\in [/mm] ?
Für iii) muß man wissen, also ggf. nachschlagen:
- wenn U und W Untervektorräume von V sind, was bedeutet dann U+W? Welche Elemente sind in diesem Raum?
Entsprechend dann die Summe endlich vieler Vektorräume.
- Wie ist die direkte Summe von Vektorräumen definiert?
In der Hoffnung, daß Du nun erste Versuche unternimmst,
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | gegeben sei ein endlich erz. Q-Vektorraum V. beweise:
i) für alle vektoren [mm] u_{1}, u_{2}\in [/mm] V gilt [mm] =
[/mm]
ii) für alle vektoren [mm] u_{1}, u_{2}, u_{3} \in [/mm] V gilt: [mm] = [/mm] |
wie soll ich das beweisen? darf ich bei i) sagen, dass nach def. UVR asu [mm] u_{1}, u_{2} \in [/mm] V folgt, dass die Summe und Differenz ebenfalls in V liegt?oder wie geh ich das an?
bei ii) hab ich leider gar keine ahnung
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> gegeben sei ein endlich erz. Q-Vektorraum V. beweise:
> i) für alle vektoren [mm]u_{1}, u_{2}\in[/mm] V gilt
> [mm]=[/mm]
> ii) für alle
> vektoren [mm]u_{1}, u_{2}, u_{3} \in[/mm] V gilt: [mm]=[/mm]
>
> wie soll ich das beweisen? darf ich bei i) sagen, dass nach
> def. UVR asu [mm]u_{1}, u_{2} \in[/mm] V folgt, dass die Summe und
> Differenz ebenfalls in V liegt?oder wie geh ich das an?
> bei ii) hab ich leider gar keine ahnung
Hallo,
wie ich Deinem Kommilitonen schrieb, ist bei i) zu zeigen
A. $ [mm] v\in [/mm] $ ==> $ [mm] v\in [/mm] $ $ [mm] [/mm] $
und
B. $ [mm] v\in [/mm] $ $ [mm] [/mm] $ ==> $ [mm] v\in . [/mm] $
zu a)
Was bedeutet es denn, wenn $ [mm] v\in [/mm] $ ?
es bedeutet, daß es [mm] q_1, q-2\in \IQ [/mm] gibt mit [mm] v=q_1v_1 +q_2v_2.
[/mm]
Nun mußt Du vorrechnen, daß man das auch schreiben kann als
[mm] v=q_1v_1 +q_2v_2= ...*(u_1 [/mm] $ + $ [mm] u_2) [/mm] + [mm] ...*(u_1 [/mm] $ − $ [mm] u_2), [/mm] denn [mm] ...*(u_1 [/mm] $ + $ [mm] u_2) [/mm] + [mm] ...*(u_1 [/mm] $ − $ [mm] u_2) [/mm] sind ja gerade die Vektoren aus [mm] .
[/mm]
Du mußt dafür bei ... passende Koeffizienten angeben. Die hängen natürlich von [mm] q_1 [/mm] und [mm] q_2 [/mm] ab.
Die andere Richtung genau umgekehrt, und Aufgabe ii) geht eigentlich auch so.
Hier sollte man sich vorm Losrechnen sinnigerweise überlegen, daß [mm] =.
[/mm]
Gruß v. Angela
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