Erzeugendensysteme, Basen etc. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | http://i774.photobucket.com/albums/yy22/kunterbuntii/mathe1.jpg
Habs kopiert, da ich die Matrizen nur schwer hier eintippen konnte... |
Ich verstehe nicht, was eine Basis, ein Erzeugendensystem und/oder um eine linear unabha ̈ngige Menge sind...
Kann mir jemand eine verständliche Erklärung vllt inkl. Beispiel liefern?
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Moin,
ein Erzeugendensystem einer Menge $\ U $, die Teilmenge eines $\ [mm] \IK-$Vektorraums [/mm] ist, ist eine Menge von Vektoren, die $\ U $ aufspannt.
Es gilt dann $\ U = [mm] \operatorname{span}(u_1,... ,u_k) [/mm] $ mit $ [mm] \operatorname{span}(u_1,... ,u_k) [/mm] = [mm] \{ \ \sum_{i=1}^k \lambda_iv_i \ : \ \lambda_i \in \IK \wedge v_i \in U \ \} [/mm] $
$ [mm] \operatorname{span}(u_1, [/mm] ... [mm] ,u_k) [/mm] $ ist also die Menge aller Linearkombinationen mit Vektoren $\ [mm] u_i \in [/mm] U $.
Das heißt, dass sich jeder Vektor $\ u [mm] \in [/mm] U $ als Linearkombination der Elemente $\ [mm] u_i \in \operatorname{span}(u_1,... ,u_k) [/mm] $ darstellen lässt.
Eine Teilmenge $\ B $ eines $ \ [mm] \IK- [/mm] $ Vektorraums V heißt ![[]](/images/popup.gif) Basis, genau dann, wenn
(i) B ist ein minimales Erzeugendensystem.
(ii) B ist maximal linear unabhängig.
In dem Erzeugendensystem von $\ U $ kann es durchaus Vektoren geben, die nicht linear unabhängig sind. In einer Basis $\ B $, die auch nichts anderes als ein Erzeugendensystem ist, ist dem aber nicht so. Die Menge $\ B $ ist als Basis immer linear unabhängig (maximal linear unabhängig).
Was das heißt? Angenommen $\ B [mm] \subseteq [/mm] V $ ist nach den oben erwähnten Voraussetzungen eine Basis und wird von $\ m $ Vektoren erzeugt.
Dann ist $\ B = [mm] \operatorname{span}(v_1,... ,v_m) [/mm] $. Wir nehmen nun einen weiteren Vektor aus $\ V $, genauer: aus $\ V [mm] \setminus [/mm] B $ her und wollen $\ B $ durch insgesamt $\ m+1$ Vektoren aus $\ V$ erzeugen.
Nun ist aber, da nach Voraussetzung $\ B $ schon maximal linear unabhängig war, die Menge $\ B $ nicht mehr linear unabhängig $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ B = linear abhängig $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ B ist keine Basis mehr.
Deshalb auch maximal linear unabhängig und minimal erzeugend.
Die Basis $\ B $ eines Vektorraums $\ V $ gibt dir Auskunft über die Dimension von $\ V $.
Die Dimension ist gerade definiert als die Anzahl der Basisvektoren aus $\ B $. Da jede Basis eines Vektorraums gleiche Mächtigkeit besitzt, reicht es schon aus, eine einzige Basis zu finden um die Dimension von $\ V $ zu bestimmen.
Zu Deinen Aufgaben:
Hast du einen Vektorraum der Dimension $\ n $ und dein Erzeugendensystem hat $\ n $ Vektoren und ist linear unabhängig, so bildet es eine Basis.
Hast du einen Vektorraum der Dimension $\ n+1 $ und dein Erzeugendensystem hat $\ n $ Vektoren und ist linear unabhängig, so musst du es durch hinzunahme eines weiteren Vektors zu einer Basis machen.
Hast du einen Vektorraum der Dimension $\ n-1 $ und dein Erzeugendensystem hat $\ n $ Vektoren, so kannst du sicher sein, dass es nicht linear unabhängig ist. Du musst dann die $\ n $ linear unabhängigen Vektoren finden. Diese bilden deine Basis.
Wenn was unklar ist, frag ruhig. Aber bitte mit konkreten Fragen.
Grüße
ChopSuey
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!!!Vielen Dank für deine ausführliche Antwort...!!!
ich muss gestehen, dass ich Verständnisschwierigkeiten habe...
http://i774.photobucket.com/albums/yy22/kunterbuntii/mathe2.jpg
Das ist z.B. eine Folie aus der Vorlesung...
Ich versuche mich an Beispielen zu orientieren-leider gelingt es mir ohne Kommentar nicht!
Ich möchte nicht, dass mir einer meine Aufgaben macht, aber wenn mir einer vllt an einem aufgabenähnlichen Bsp erklären kann, was ich zu tun habe, wäre mir schon wieder sehr geholfen!
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Moin,
> !!!Vielen Dank für deine ausführliche Antwort...!!!
> ich muss gestehen, dass ich Verständnisschwierigkeiten
> habe...
Macht doch nichts.
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> http://i774.photobucket.com/albums/yy22/kunterbuntii/mathe2.jpg
>
> Das ist z.B. eine Folie aus der Vorlesung...
> Ich versuche mich an Beispielen zu orientieren-leider
> gelingt es mir ohne Kommentar nicht!
Deine Folie ist ein gutes Beispiel dafür, was ich vorhin meinte mit "jeder Vektor aus $\ U $ lässt sich als Linearkombination der $\ [mm] u_i \in span(u_1,..,u_m) [/mm] $ darstellen."
Nehmen wir konkret den Fall deiner Aufgabe:
Wir sind im Vektorraum $\ [mm] \IR^2 [/mm] $. $\ [mm] \IR^2 [/mm] $ ist ein 2-Dimensionaler $ [mm] \IR-$Vektorraum.
[/mm]
D.h. jede Basis hat genau zwei Vektoren.
Dein Erzeugendensystem, das hier $\ S $ genannt wird, besteht aus drei Vektoren, die den $\ [mm] \IR^2 [/mm] $ aufspannen.
Allein aufgrund der Tatsache, dass $\ S $ ein Erzeugendensystem ist, kannst du jeden Vektor aus $\ [mm] \IR^2 [/mm] $, also jeden Vektor $\ [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = (x,y) $ mit $ x,y [mm] \in \IR$ [/mm] als Linearkombination der Elemente aus $\ S $ darstellen.
Schau dir nochmal die Definition der Linearkombination genau an.
Allerdings stellst du schnell fest, dass man sich bei der Linearkombination der drei Vektoren den letzten Summanden auch hätte sparen können.
D.h. der Vektor $ [mm] \vec{u} [/mm] $ lässt sich auch mit nur zwei Vektoren darstellen, nämlich $ [mm] \vektor{2 \\ 0}$ [/mm] und $ [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] $
Ich vermute, dass das ganze Thema etwas neu für dich ist.
Mach dich mit Geduld mit den Definitionen von lineare Unabhängigkeit, lineare Hülle und Linearkombination vertraut.
Ohne genaue Kenntnis der Definitionen und Verständnis dafür, hilft alle Hilfe nichts.
> Ich möchte nicht, dass mir einer meine Aufgaben macht,
> aber wenn mir einer vllt an einem aufgabenähnlichen Bsp
> erklären kann, was ich zu tun habe, wäre mir schon wieder
> sehr geholfen!
Grüße
ChopSuey
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