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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Erzgnde Fkt Binomialverteilung
Erzgnde Fkt Binomialverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Erzgnde Fkt Binomialverteilung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:55 So 22.03.2020
Autor: sancho1980

Aufgabe
Berechnen Sie die erzeugende Funktion der Binomialverteilung. Leiten Sie daraus die Formel für den Erwartungswert und die Varianz der Binomialverteilung her.

Hallo,

bei der erzeugenden Fkt komme ich auf

e(z) = [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} p^i q^{n - i} z^i [/mm]
e'(z) = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i [mm] \vektor{n \\ i} p^i q^{n - i} z^{i - 1} [/mm]
e''(z) = [mm] \summe_{i=2}^{n} [/mm] (i - 1) i [mm] \vektor{n \\ i} p^i q^{n - i} z^{i - 2} [/mm]

Jetzt gilt, E(X) = p'(1).

Ich brauche einen Tipp, wie kann man die Gleichheit sehen:

[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i [mm] \vektor{n \\ i} p^i q^{n - i} [/mm] = np

Danke,

Martin

        
Bezug
Erzgnde Fkt Binomialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:10 Mo 23.03.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> bei der erzeugenden Fkt komme ich auf
>  
> e(z) = [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} p^i q^{n - i} z^i[/mm]

na fertig bist du hier noch lange nicht… das stimmt zwar, aber da kannst du noch deutlich mehr zusammenfassen…
Tipp: Binomischer Lehrsatz.
Dann lässt sich auch die Ableitung einfacher bilden…

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Erzgnde Fkt Binomialverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:55 Di 24.03.2020
Autor: sancho1980

Hallo,

>  Tipp: Binomischer Lehrsatz.
>  Dann lässt sich auch die Ableitung einfacher bilden…

ich hatte leider nicht die Zeit, alles aufzuschreiben, was ich schon probiert hatte. Tatsächlich hatte ich schon drüber nachgedacht, ob mir irgendwie weiterhilft, dass

[mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} p^i q^{n - i} [/mm] = (p + [mm] q)^n [/mm] = 1

Aber das Problem ist doch der Faktor in der Summe. Insofern ist mir nicht klar,

1) wie ich dadurch leichter die Ableitung von [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} p^i q^{n - i} z^i [/mm] berechnen kann, denn schließlich kann ich den Faktor [mm] z^i [/mm] ja nicht einfach so aus der Summe rausheben
2) wie ich [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i [mm] \vektor{n \\ i} p^i q^{n - i} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] i [mm] \vektor{n \\ i} p^i q^{n - i} [/mm] = np zeigen kann, denn auch hier kann ich den Faktor i nicht einfach außerhalb der Summe schreiben.

Bezug
                        
Bezug
Erzgnde Fkt Binomialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:35 Di 24.03.2020
Autor: statler

Auch hallo!

> >  Tipp: Binomischer Lehrsatz.

>  >  Dann lässt sich auch die Ableitung einfacher
> bilden…
>  
> ich hatte leider nicht die Zeit, alles aufzuschreiben, was
> ich schon probiert hatte. Tatsächlich hatte ich schon
> drüber nachgedacht, ob mir irgendwie weiterhilft, dass
>  
> [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} p^i q^{n - i}[/mm] = (p + [mm]q)^n[/mm]
> = 1
>  
> Aber das Problem ist doch der Faktor in der Summe. Insofern
> ist mir nicht klar,
>
> 1) wie ich dadurch leichter die Ableitung von
> [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} p^i q^{n - i} z^i[/mm]
> berechnen kann, denn schließlich kann ich den Faktor [mm]z^i[/mm]
> ja nicht einfach so aus der Summe rausheben
>  2) wie ich [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] i [mm]\vektor{n \\ i} p^i q^{n - i}[/mm]
> = [mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm] i [mm]\vektor{n \\ i} p^i q^{n - i}[/mm] = np
> zeigen kann, denn auch hier kann ich den Faktor i nicht
> einfach außerhalb der Summe schreiben.

Wiederholung und Erweiterung des o. a. Tipps:

In [mm] p^i q^{n - i} z^i [/mm] kannst du p und z zusammenfassen.

Gruß
Dieter


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