Es exist. reelle Z. für Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei p [mm] \in \N. [/mm] Zeigen Sie, dass es reelle Zahlen [mm] a_{p1},...,a_{pp} [/mm] gibt, so dass
[mm] \summe_{k=1}^{n}k^p [/mm] = [mm] \bruch{n^p+1}{p+1} [/mm] + [mm] a_{pp}n^p [/mm] +....+ [mm] a_{pp}n
[/mm]
für alle n [mm] \in \N [/mm] gilt. |
Hi,
ich dachte mir, ich löse nach [mm] a_{pi} [/mm] : i [mm] \in [/mm] [1,p] auf. Dann sollte man sehen, dass [mm] a_{p1},..., a_{pp} [/mm] in den reellen Zahlen liegt.
Da n aus [mm] \summe_{k=1}^{n}k^p [/mm] der letzte Summand ist, kann ich auch n = p und damit [mm] \summe_{k=1}^{p}k^p [/mm] schreiben.
[mm] \Rightarrow \summe_{k=1}^{p}k^p [/mm] = [mm] \bruch{p^p+1}{p+1} [/mm] + [mm] a_{pp}p^p [/mm] +....+ [mm] a_{pp}p [/mm]
[mm] \gdw \summe_{i=1}^{p}i^p [/mm] = [mm] \bruch{p^p+1}{p+1} [/mm] + [mm] a_{pi}\summe_{i=1}^{p}p^i
[/mm]
wegen [mm] \summe_{i=0}^{p}p^i [/mm] = [mm] \bruch{1-p^p^+^1}{1-p} [/mm] folgt doch:
[mm] \summe_{i=1}^{p}i^p [/mm] = [mm] \bruch{p^p+1}{p+1} [/mm] + [mm] a_{pi}(\bruch{1-p^p^+^1}{1-p} [/mm] -1 )
Ich finde, dass wenn ich jetzt nach [mm] a_{pi} [/mm] auflöse, dass man sieht, dass [mm] a_{pi} \in \R [/mm] liegt.
An dieser Stelle würde ich auch mit Vollständiger Induktion weitermachen. Was meint ihr?
Viele Grüße
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Meine Formelumstellung von
[mm] \summe_{i=0}^{p}p^i [/mm] = [mm] \bruch{1-p^p^+^1}{1-p} [/mm]
scheint nicht richtig zu sein.... irgendwas passt mit der Indexverschiebung nicht.....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Fr 06.05.2011 | | Autor: | wauwau |
irgendetwas muss in der Angabe falsch sein, denn das ganze stimmt ja schon für p=1 nicht. Im allgemeinen muss die Summe mindestens die Ordnung [mm] $n^{p+1}$ [/mm] haben,was im Widerspruch dazu steht, dass rechts ein Polynom der ordnung p steht.
Für p=1 steht rechts ein lineares Polynom links aber, wie wir seit C.F.Gauss Schulzeit wissen [mm] $\frac{n(n+1)}{2}$
[/mm]
[mm]\summe_{k=1}^{n}k^p[/mm] = [mm]\bruch{n^p+1}{p+1}[/mm] + [mm]a_{pp}n^p[/mm] +....+ [mm]a_{pp}n[/mm]
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