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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 So 31.01.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Bestimmen sie die euklidische Normalform der folgenden Quadrik:
[mm] (3x_1)^2+ 2x_1 x_2 [/mm] + [mm] (3x_2)^2 [/mm] − 5 = 0 |
Ich bin nun mal so vorgegangen:
A = [mm] \pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 }
[/mm]
charakt. Polynom: [mm] (\lambda)^2 [/mm] - 6 [mm] \lambda [/mm] + 8
[mm] \lambda_1 [/mm] = 4
[mm] \lambda_2 [/mm] = 2
Eigenvektoren erhalte ich aus V1: [mm] \pmat{ -1 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
V1= [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
für V2: [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] V2= [mm] \vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
Nun erhalte ich ja folgende Matrix:
M = [mm] 1/\wurzel{2} \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
[mm] x_1= (1/\wurzel{2}) (y_1 [/mm] - [mm] y_2)
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] (1/\wurzel{2}) (y_1 [/mm] + [mm] y_2)
[/mm]
Und diese nun einsetzen in meine erste Gleichung?
Vielen Dank für die Überprüfung
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Hallo zocca21,
> Bestimmen sie die euklidische Normalform der folgenden
> Quadrik:
>
> [mm](3x_1)^2+ 2x_1 x_2[/mm] + [mm](3x_2)^2[/mm] − 5 = 0
> Ich bin nun mal so vorgegangen:
>
> A = [mm]\pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 }[/mm]
>
> charakt. Polynom: [mm](\lambda)^2[/mm] - 6 [mm]\lambda[/mm] + 8
> [mm]\lambda_1[/mm] = 4
> [mm]\lambda_2[/mm] = 2
>
> Eigenvektoren erhalte ich aus V1: [mm]\pmat{ -1 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> V1= [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
> für V2: [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] V2= [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
>
> Nun erhalte ich ja folgende Matrix:
>
> M = [mm]1/\wurzel{2} \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]x_1= (1/\wurzel{2}) (y_1[/mm] - [mm]y_2)[/mm]
> [mm]x_2[/mm] = [mm](1/\wurzel{2}) (y_1[/mm] + [mm]y_2)[/mm]
>
> Und diese nun einsetzen in meine erste Gleichung?
Ja.
Da Du schon mal die Matrix berechnet hast,
kannst Du auch
[mm]M^{T}*A*M[/mm]
berechnen. (T entspricht dem transponieren)
Ergebnis sollte eine Diagonalmatrix sein.
>
> Vielen Dank für die Überprüfung
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 So 31.01.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | b) Euklidische Normalform zu
[mm] (2x_1)^2 [/mm] + [mm] (x_2)^2 [/mm] + [mm] 4x_2 [/mm] +1 =0
Und den Ursprung eines Koordinatensystems angeben, in dem die Quadrik euklidische Normalform hat. |
A = [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] a=A = [mm] \pmat [/mm] {0 [mm] \\ [/mm] 4 } C=1
[mm] \lambda_1 [/mm] = 2
[mm] \lambda_2 [/mm] = 1
[mm] V_1 [/mm] dürfte sein: [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & - 1 }
[/mm]
[mm] V_1 [/mm] dürfte sein: [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
In der ersten Matrix setzte ich [mm] V_1 [/mm] = [mm] \pmat [/mm] {0 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & -1 }
X1=t also erhalte ich [mm] V_1 [/mm] = [mm] \pmat [/mm] {1 [mm] \\ [/mm] 0 }
[mm] V_2 [/mm] = [mm] \pmat [/mm] {0 [mm] \\ [/mm] 1 }
M = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] x_1=y_1
[/mm]
[mm] x_2=y_2
[/mm]
[mm] 2(y_1)^2 [/mm] + [mm] (y_2)^2 [/mm] + 1 = 0
Ergebnis sollte aber sein:
Anstatt 2 und 1 in meinen Einträgen.. -(2/3) und -(1/3)
Lass ich in der euklidischen Form den Linear Anteil immer weg?
Vielen Dank
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Hallo zocca21,
> b) Euklidische Normalform zu
> [mm](2x_1)^2[/mm] + [mm](x_2)^2[/mm] + [mm]4x_2[/mm] +1 =0
> Und den Ursprung eines Koordinatensystems angeben, in dem
> die Quadrik euklidische Normalform hat.
> A = [mm]\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] a=A = [mm]\pmat[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{0 [mm]\\[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
4 } C=1
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = 2
> [mm]\lambda_2[/mm] = 1
>
> [mm]V_1[/mm] dürfte sein: [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & - 1 }[/mm]
> [mm]V_1[/mm] dürfte
> sein: [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> In der ersten Matrix setzte ich [mm]V_1[/mm] = [mm]\pmat[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{0 & 0 [mm]\\[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 &
> -1 }
> X1=t also erhalte ich [mm]V_1[/mm] = [mm]\pmat[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{1 [mm]\\[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 }
>
> [mm]V_2[/mm] = [mm]\pmat[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{0 [mm]\\[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1 }
>
> M = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> [mm]x_1=y_1[/mm]
> [mm]x_2=y_2[/mm]
>
> [mm]2(y_1)^2[/mm] + [mm](y_2)^2[/mm] + 1 = 0
Hier hast Du den linearen Anteil vergessen:
[mm]2(y_1)^2 + (y_2)^2+\red{4*y_{2}}[/mm] + 1 = 0
Formst Du das etwas um, dann steht da:
[mm]2(y_1)^2 + \left(y_{2}+2\right)^{2} -3 = 0[/mm]
Division durch 3 liefert, dann die Normalform:
[mm]\bruch{2}{3}(y_1)^2 + \bruch{1}{3}\left(y_{2}+2\right)^{2}=1[/mm]
>
> Ergebnis sollte aber sein:
>
> Anstatt 2 und 1 in meinen Einträgen.. -(2/3) und -(1/3)
>
> Lass ich in der euklidischen Form den Linear Anteil immer
> weg?
Nein.
>
> Vielen Dank
Gruss
MathePower
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