Euklidischer Vektorraum < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
habe bei folgenden Aufgaben teilweise Probleme:
Wir betrachten den reellen Vektorraum [mm] V=Mat(2,2;\IR) [/mm] zusammen mit der Abbildung <,>:VxV [mm] \to \IR, [/mm]
[mm] (A,B)\mapsto:=Spur(A \cdot B^T) [/mm] [Hinweis: Spur einer Matrix ist die Summe aller Hauptdiagonaleinträge.]
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(a) Zeige: (V, <,>) ist ein euklidischer Vektorraum.
Hier muss ich ja denke ich mal die Bilinearform, Symmetrie und Positive Definitheit des Skalarproduktes nachweisen. Das klappt auch soweit.
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(b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix G von <,> bezüglich der Standardbasis [mm] (\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }) [/mm] von [mm] Mat(2,2;\IR).
[/mm]
Hier habe ich nun Schwierigkeiten. Brauche ich nicht zwei Basen, um eine Darstellungsmatrix aufzustellen? Ich muss doch die Bilder einer Basis als Linearkombination der andren Basis darstellen und erhalte somit meine Spalten der Darstellungsmatrix.
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(c) Sei [mm] U=Span(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }). [/mm] Bestimmen Sie das orthogonale Komplement [mm] U^{\perp} [/mm] von U in V. Geben Sie eine Orthonormalbasis von V an.
Ich weiss nicht was das orthogonale Komplement ist und wie man es bestimmt. Muss ich für die Orthonormalbasis Gram-Schmidt anwenden?
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(d) Verallgemeinere die Aussage auf Matrizen beliebiger Größe:
[mm] V=Mat(n,n;\IR) [/mm] zusammen mit der Abbildung <,>:VxV [mm] \to \IR, [/mm]
[mm] (A,B)\mapsto:=Spur(A \cdot B^T) [/mm] ist ein euklidischer Vektorraum. Wie kann man die Definition von <,> so erweitern, dass [mm] V=Mat(n,n;\IC) [/mm] zu einem unitären Raum gemacht wird?
Hier wäre ich für Anregungen seeeeeeeehr dankbar!
Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Fr 10.04.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Wir betrachten den reellen Vektorraum [mm]V=Mat(2,2;\IR)[/mm]
> zusammen mit der Abbildung <,>:VxV [mm]\to \IR,[/mm]
> [mm](A,B)\mapsto:=Spur(A \cdot B^T)[/mm] [Hinweis: Spur einer
> Matrix ist die Summe aller Hauptdiagonaleinträge.]
>
> (a) Zeige: (V, <,>) ist ein euklidischer Vektorraum.
>
> Hier muss ich ja denke ich mal die Bilinearform, Symmetrie
> und Positive Definitheit des Skalarproduktes nachweisen.
> Das klappt auch soweit.
>
Sehr schön.
>
> (b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix G von <,>
> bezüglich der Standardbasis [mm](\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 })[/mm]
> von [mm]Mat(2,2;\IR).[/mm]
>
> Hier habe ich nun Schwierigkeiten. Brauche ich nicht zwei
> Basen, um eine Darstellungsmatrix aufzustellen? Ich muss
> doch die Bilder einer Basis als Linearkombination der
> andren Basis darstellen und erhalte somit meine Spalten der
> Darstellungsmatrix.
Was du berechnen willst ist die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung zwischen zwei Vektorräumen.
Die Darstellungsmatrix einer Bilinearform ist aber anders definiert, nämlich [mm]G := ()_{i,j}[/mm].
>
> (c) Sei [mm]U=Span(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }).[/mm]
> Bestimmen Sie das orthogonale Komplement [mm]U^{\perp}[/mm] von U in
> V. Geben Sie eine Orthonormalbasis von V an.
>
> Ich weiss nicht was das orthogonale Komplement ist und wie
> man es bestimmt. Muss ich für die Orthonormalbasis
> Gram-Schmidt anwenden?
>
Schau' nochmal in deinem Skript nach. Ihr müsst das definiert haben, wenn ihr so eine Aufgabe gestellt kriegt.
[mm]U^{\perp} := \{v \in V | =0 \ \forall u \in U \}[/mm].
Ja, für die Orthonormalbasis bemühste am besten Gram-Schmidt.
>
> (d) Verallgemeinere die Aussage auf Matrizen beliebiger
> Größe:
> [mm]V=Mat(n,n;\IR)[/mm] zusammen mit der Abbildung <,>:VxV [mm]\to \IR,[/mm]
> [mm](A,B)\mapsto:=Spur(A \cdot B^T)[/mm] ist ein euklidischer
> Vektorraum. Wie kann man die Definition von <,> so
> erweitern, dass [mm]V=Mat(n,n;\IC)[/mm] zu einem unitären Raum
> gemacht wird?
>
> Hier wäre ich für Anregungen seeeeeeeehr dankbar!
Was ist der Unterschied zwischen einem euklidischen und einem unitären VR?
Probiere mal die ursprüngliche Definition (also [mm]:=Spur(A \cdot B^T)[/mm]) an einigen komplexen [mm]1 \times 1[/mm] Matrizen aus; vielleicht sieht du ja dann was man verändern muss.
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