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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Di 19.04.2005 | | Autor: | schinken |
Hallo. Ich muss demnächst ein Referat über Leonhard Euler halten. V.a. soll ich den Beweis der Monotonie und der Beschränktheit vorführen und verstanden haben(und natürlich den anderen auch verständlich machen). Kann mir vielleicht jmd dabei helfen?!
Sprich: Wie kann ich das Referat einleiten und WARUM ist die Folge beschränkt und monoton wachsend ?! Natülich kann ich die Rechenschritte im Buch nachlesen, aber kann mir das vielleicht jmd etwas verständlicher ohne Zahlen, leicht verständlich, sodass ich das auch meinem kurs so vermitteln kann, erklären ?!
Wäre euch echt dankbar ! !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 Di 19.04.2005 | | Autor: | QCO |
Bitte erkläre doch erstmal, was du eigentlich zeigen sollst. Monotonie und Beschränktheit wovon?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Di 19.04.2005 | | Autor: | schinken |
hallo! Monotonie und Beschränktheit von
[mm] (1+1/n)^n [/mm]
sprich der eulerschen Zahl e
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Hallo Schinken,
Für den Beweis benutze ich die Bernouli-Ungleichung:
[mm] $(1+a)^n\ge1+na$, [/mm] wenn [mm] $a\ge-1$.
[/mm]
Für die Monotonie muss man nun zeigen:
[mm] $a_{n+1}\ge a_n$
[/mm]
[mm]\gdw \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \ge \left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/mm]
Jetzt forme ich ein wenig um:
[mm]\gdw \left(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\right)^{n+1} \ge \frac{1}{1+\frac{1}{n}} [/mm]
[mm]\gdw \left(\frac{n(n+1)+n}{n(n+1)+(n+1)}\right)^{n+1} \ge \frac{n+1-1}{n+1}[/mm]
[mm]\gdw \left(\frac{(n+2)n}{(n+1)^2}\right)^{n+1} \ge 1-\frac{1}{n+1}[/mm]
[mm]\gdw \left(\frac{n^2+2n+1-1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}=\left(\frac{(n+1)^2-1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}=\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1} \ge 1-\frac{1}{n+1}[/mm]
Die letzte Ungleichung entspricht nun der Bernoulli-Ungleichung. Somit ist also die Monotonie bewiesen.
Für die Beschränktheit musst du die Folge [mm]b_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}[/mm] betrachten. Hier kannst du jetzt mal selbst versuch (ziemlich ähnlich wie oben) zu zeigen, dass diese Folge monoton fällt.
Ferner weißt du, dass [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] den selben Grenzwert haben, da:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{(1+1/n)^n}{(1+1/n)^{n+1}}=\frac{1}{1+1/n}=1 [/mm]
Es ist auch leicht einzusehen, dass für alle [mm] $n\in\IN$ $a_n [/mm] < [mm] b_n$ [/mm] gilt.
Der gemeinsame Grenzwert liegt also in dem Intervallen [mm] [a_n;b_n], [/mm] für jedes belibige n oder [mm] $a_n
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e = \limes_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}[/mm]
mit $e=2,718...$
Ich hoffe, dass das am Ende jetzt nicht zu umständlich formuliert war. Falls doch, frag einfach nochmal nach - dann probier ich mich klarer auszudrücken
Gruß Samuel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mo 25.04.2005 | | Autor: | schinken |
Hi danke sconmal für die antwort.
noch eine Frage hätte ich. Ich verstehe noch nicht ganz weshalb der term >1 (<1) sein muss um monoton wachsend (fallend) zu sein. Wie kann ich das meinen Mitschülern erklären, bzw wie kann ich das selbst verstehen??
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Di 26.04.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo schinken!
> noch eine Frage hätte ich. Ich verstehe noch nicht ganz
> weshalb der term >1 (<1) sein muss um monoton wachsend
> (fallend) zu sein.
Welchen Term meinst du? Ich kann in Teletubyyys Erklärungen keine Erwähnung eines solchen Terms finden.
Ich denke, du meinst folgendes:
Wenn man zeigen soll, dass eine Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] (von Zahlen) monoton wachsend ist, dann muß man ja zeigen, dass
[mm] $a_{n+1}\ge a_n$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] ("Jedes Folgenglied ist größer oder gleich als sein Vorgänger.")
Wenn nun alle Zahlen [mm] $a_n$ [/mm] ungleich Null sind, kann man diese Ungleichung umformen zu
[mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n}\ge [/mm] 1$
Dies ist also der Term, der größer 1 sein muß, um damit die Monotonie zu zeigen. Nun alles klar?
Darin steckt auch einfach die Tatsache, dass der Quotient einer Zahl und einer Zahl, die kleiner als die erste ist, größer 1 ist: [mm] $\bruch{5}{3}\ge1$.
[/mm]
> Wie kann ich das meinen Mitschülern
> erklären, bzw wie kann ich das selbst verstehen??
Ich hoffe, dass du es nun zumindestens selbst verstanden hast 
Falls ich deine Frage falsch verstanden hatte, oder du noch weitere Fragen hast, stelle sie bitte einfach weiter.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Di 26.04.2005 | | Autor: | schinken |
Hallo. Erst einmal Danke für eure Antworten.
@Marc
> Welchen Term meinst du?
Genau das von dir beschriebene meinte ich, Marc
> Ich denke, du meinst folgendes:
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}\ge 1[/mm]
>
> Dies ist also der Term, der größer 1 sein muß, um damit die
> Monotonie zu zeigen. Nun alles klar?
Ja das ist klar. Meine Frage im Post davor war:warum muss ich zeigen, dass der Term größer 1 ist. Ich kann ja nicht einfach hingehn und sagen: so dass mus jetzt größer 1 sein...
> Darin steckt auch einfach die Tatsache, dass der Quotient
> einer Zahl und einer Zahl, die kleiner als die erste ist,
> größer 1 ist: [mm]\bruch{5}{3}\ge1[/mm].
Klingt logisch, jetzt hab ichs verstanden, Danke!
Evtl hätte ich später noch eine Frage zu der oberen Schranke, muss es mir jedoch nochmal genau anhscauen. also danke nochmal, bis dann!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 So 01.05.2005 | | Autor: | schinken |
Hi, ich bins nochmal mit ner weiteren Frage
Wenn ich ein Schaublid der Folge [mm] /1+1/n)^n [/mm] zeichne liegt der Grenzwert ja bei "e".
1.) Heißt das, dass sich die Funktion immer mehr "e" nähert aber nie schneidet? auch nicht im unendlichen?
2.)Was ist der Unterschied zwischen einer Schranke und dem Grenzwert (hier "e")
DANKE!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 So 01.05.2005 | | Autor: | schinken |
Ja jetzt ist es mir klar.
Vielen Dank, Loddar :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Mo 02.05.2005 | | Autor: | schinken |
hallo, muss morgen mein referat halten. noch ne kleine Frage:
Wie kann ich meinem Kurs klar machen dass die Folge [mm] (1+1/n)^n [/mm] nicht gegen 1 strebt ?
denn wenn n->unendlich dann geht 1/n gegen 0. => [mm] (1)^n [/mm] =1
Ist die Begründung weil der Wert 0 ja nie GANZ erreicht wird ??
Dankeschön!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Mo 02.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schon beim Beweis der Monotonie hast du doch benutzt, dass [mm] (1+a)^{n}\ge [/mm] 1+n*a ist also :
[mm] (1+\bruch{1}{n})^{n}\ge [/mm] 1+1=2 für alle n! Bei einem Grenzwert kann man nicht einen Teil hier [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gegen 0 gehen lassen und solange vergessen, dass auch das n im exponenten gegen 0 geht! dummes Beispiel:n* [mm] \bruch{1}{n}: [/mm] lass nur das vordere n des Bruchs gegen unendlich gehen klar das ganze geht gegen unendlich. Nur den Nenner des Bruchs gegen unendlich: das Ganze gegen 0!
Wenn du mit [mm] (1+a)^{n}\ge [/mm] 1+n*a Schwierigkeiten hast ang mit n=2 an multiplizier mit 1+a und stell fest, dass dann 3 bei a auftritt etc (vollständige Induktion). Dass genau e rauskommt ist ja der Satz und nur ein Name für eine Zahl, die NIEMAND genau kennt! (Auch wenn man 10000 Stellen weiss kennt man die nächsten 1000 Stellen nicht, sowas gilt aber auch für so "einfache" Zahlen wie [mm] \wurzel{3}!)
[/mm]
Viel erfolg beim Referat, erzähl uns mal wie es ging!
Gruss leduart
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Hi, schinken,
> hallo, muss morgen mein referat halten. noch ne kleine
> Frage:
> Wie kann ich meinem Kurs klar machen dass die Folge
> [mm](1+1/n)^n[/mm] nicht gegen 1 strebt ?
> denn wenn n->unendlich dann geht 1/n gegen 0. => [mm](1)^n[/mm] =1
Naja: Am leichtesten sieht man's doch ein, wenn man mal ein paar Glieder der Folge ausrechnet, auch für sehr großes n:
[mm] a_{1} [/mm] = 2;
[mm] a_{2} [/mm] = 2,25;
[mm] a_{3} [/mm] = 2,37...;
[mm] a_{4} [/mm] = 2,44...;
[mm] a_{5} [/mm] = 2,488..;
...
[mm] a_{10} [/mm] = 2,59...;
...
[mm] a_{100} [/mm] = 2,7048...;
...
[mm] a_{1000} [/mm] = 2,7169...;
usw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Di 03.05.2005 | | Autor: | schinken |
Hi, mein Vortrag verlief relativ gut! hab zwar mal kurz nen blackout bei der bernoullischen gleichung gehabt als ich nachwies, dass die Folge monoton wachsend ist. Noch ein kleiner Fehler war, dass ich das Schaubild dummerweise verbunden habe. Weiss auch nicht warum....
Aber im Großen und ganzen war es gut und meine Lehrerin hat mich gelob und gemeint, dass es auf jeden Fall im guten 2er Bereich war.
Die genaue Note bekomm ich in einer Woche.
An der Stelle nochmal Danke an ALLE!
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Ganz genau! Der Wert [mm] $\text{e}$ [/mm] wird von der Folge nie erreicht.
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Wikipedia: Grenzwert