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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 09:27 Do 03.11.2005 | | Autor: | Toyo |
Hallo,
ich habe eine Frage, die nah an der Numerik ist aber immer noch analytisch ist.
Unzwar hab ich ein DGL system gegeben:
[mm] Y'=AY= \pmat{ 0 & 1 \\ -100 & -101 }Y [/mm] und [mm] Y(0)= \vektor{2 \\ -2} [/mm]
und ich soll jetzt die Stabilitätsgrenzen der Euler-Methode beim Lösen dieses Problems ermitteln.
Ich weiss, wie es für den fall, dass man nur eine DGL hat geht, aber hab keine Ahnung, wie man das auf ein System ausweiten kann.
Man muss dass doch dann in Differenzengleichungen schreiben, die lösen und gucken, das die Lösung für h (die Schrittweite) nicht gegen [mm] \infty [/mm] geht.
Ich hab mal folgendes gemacht, einfach beide Gleichungen einzeln analysiert, bei der 1. klappt das leider nicht so gut:
1. GLeichung:
[mm] y_{k+1}=y_{k} + h z_{k} [/mm]
bekomme dann durch das characteristische Polynome die eine Nullstelle [mm] \lambda = 1 [/mm]
wenn ich dann jedoch c berechne kommt bei mir [mm] c = \bruch{h z_{k}}{1-1}=2 [/mm] raus was ja wohl nicht geht, da durch null geteilt wird.
für die 2. Gleichung
[mm] z_{k+1}=z_{k} + h (-100y_{k} - 101 z_{k}) [/mm]
bekomme ich durch das Charakterische Polinom die Nullstelle
[mm]\lambda = -101h +1[/mm]
und dann:
[mm] z_{k} [/mm] = (-2 - [mm] \bruch{100h y_{k}}{1-101h})(-101h+1)^{n} [/mm] + [mm] \bruch{100hy_{k}}{1-101h}
[/mm]
daher muss [mm] h \le \bruch{2}{101} [/mm] sein, da sonst der hoch n ausdruck gegen n geht.
Bin mir hiermit aber nicht so sicher, weil der Prof meinte wir soltlen Eigenvektoren und Eigenwerte für die Lösung bestimmen, was ich ja nciht gemacht hab.
Bin für jede Hilfe sehr dankbar.
Viele Grüsse
Toyo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:58 Sa 05.11.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Toyo!
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