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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
L: [mm] \mathbb{R} \times \mathbb{R}\times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: [/mm] (t,y,p) [mm] \mapsto \bruch{1}{2}(p^2-y^2)
[/mm]
sowie auf [mm] D:=\{\omega \in C^2([0.\bruch{\pi}{2}]):\omega(\bruch{\pi}{2})=1\} [/mm] das Funktional
[mm] E(\omega)=\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{L(t,\omega(t), \omega '(t)) dt} [/mm] für [mm] \omega \in [/mm] D.
Berechnen Sie die Eulergleichungen zum Variationsproblem
[mm] E(\omega) \rightarrow [/mm] min
und bestimmen Sie eine Lösung mit [mm] \omega [/mm] (0)=0 und [mm] \omega (\bruch{\pi}{2})=1. [/mm] |
Hallo,
mein Problem ist, dass ich gar keine wirkliche Ahnung von Eulergleichungen habe. Wir hatten auch davor noch keine Aufgabe dazu.
Ich habe mal im Skript gesucht und bin auf folgenden Satz gestoßen:
-----------------------------
Ist [mm] $\varphi \in [/mm] D$ ein Minimum von E, so erfüllt [mm] $\varphi$ [/mm] die Euler-Differentialgleichung
[mm] $\bruch{d}{dt}(\bruch{\delta L}{\delta p}(t,\varphi [/mm] (t), [mm] \varphi '(t))-\bruch{\delta L}{\delta y}(t,\varphi [/mm] (t), [mm] \varphi [/mm] '(t))= 0$.
Solch ein [mm] \varphi [/mm] heißt dann Lagrange-Funktion.
---------------------------
Also suche ich jetzt quasi eine Funktion [mm] $\omega \in [/mm] D$ , sodass [mm] $E(\omega)$ [/mm] minimal ist, richtig?
Für mich ist das ganze Thema DGL noch absolutes Neuland....
Bin grad dabei für die anstehende Klasur zu üben und hoffe, dass mir hier weitergeholfen werden kann.
Gruß
vom congo
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Hallo congo.hoango,
>Aufgabe
>Gegeben sei die Funktion
> L: $ [mm] \mathbb{R} \times \mathbb{R}\times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: [/mm] $ (t,y,p) $ [mm] \mapsto \bruch{1}{2}(p^2-y^2) [/mm] $
> sowie auf $ [mm] D:=\{\omega \in C^2([0.\bruch{\pi}{2}]):\omega(\bruch{\pi}{2})=1\} [/mm] $ das Funktional
> $ [mm] E(\omega)=\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{L(t,\omega(t), \omega '(t)) dt} [/mm] $ für $ [mm] \omega \in [/mm] $ D.
>Berechnen Sie die Eulergleichungen zum Variationsproblem
> $ [mm] E(\omega) \rightarrow [/mm] $ min
>und bestimmen Sie eine Lösung mit $ [mm] \omega [/mm] $ (0)=0 und $ [mm] \omega (\bruch{\pi}{2})=1. [/mm] $
> Hallo,
> mein Problem ist, dass ich gar keine wirkliche Ahnung von Eulergleichungen habe. Wir hatten auch davor noch keine Aufgabe dazu.
> Ich habe mal im Skript gesucht und bin auf folgenden Satz gestoßen:
>-----------------------------
> Ist $ [mm] \varphi \in [/mm] D $ ein Minimum von E, so erfüllt $ [mm] \varphi [/mm] $ die Euler-Differentialgleichung
>$ [mm] \bruch{d}{dt}(\bruch{\delta L}{\delta p}(t,\varphi [/mm] (t), [mm] \varphi '(t))-\bruch{\delta L}{\delta y}(t,\varphi [/mm] (t), [mm] \varphi [/mm] '(t))= 0 $.
>Solch ein $ [mm] \varphi [/mm] $ heißt dann Lagrange-Funktion.
>---------------------------
> Also suche ich jetzt quasi eine Funktion $ [mm] \omega \in [/mm] D $ , sodass $ [mm] E(\omega) [/mm] $ minimal ist, richtig?
>Für mich ist das ganze Thema DGL noch absolutes Neuland....
>Bin grad dabei für die anstehende Klasur zu üben und hoffe, dass mir hier weitergeholfen werden kann.
Differenziere L partiell nach y und p und setzt dies in
die Gleichung
[mm]\bruch{d}{dt}(\bruch{\delta L}{\delta p}(t,\varphi (t), \varphi '(t))-\bruch{\delta L}{\delta y}(t,\varphi (t), \varphi '(t))= 0[/mm]
Benutze dabei, daß p=y'.
> Gruß
> vom congo
Gruss
MathePower
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Danke für deine Antwort.
Ok, also ich habe dann mal die partiellen Ableitungen gebildet:
[mm] \bruch{\delta L}{\delta y} [/mm] = -y
[mm] \bruch{\delta L}{\delta p} [/mm] = p
Wie stehen nun die [mm] \varphi [/mm] in Beziehung zu y und p?
Gruß
congo
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Hallo congo.hoango,
>Danke für deine Antwort.
> Ok, also ich habe dann mal die partiellen Ableitungen gebildet:
> $ [mm] \bruch{\delta L}{\delta y} [/mm] $ = -y
> $ [mm] \bruch{\delta L}{\delta p} [/mm] $ = p
> Wie stehen nun die $ [mm] \varphi [/mm] $ in Beziehung zu y und p?
Nach Deinen Aufschrieben ist [mm]y=\varphi[/mm]
und [mm]p=\dot{\varphi}[/mm]
> Gruß
> congo
Gruss
MathePower
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Ok, stimmt. Dann habe ich:
[mm] \bruch{d}{dt}(\varphi '(t)+\varphi [/mm] (t))
Heißt das [mm] \bruch{d}{dt} [/mm] nun, dass ich den Ausdruck nochmal ableiten muss?
Dann hätte ich ja folgende Lösung:
E [mm] \in \{\varphi | \varphi = \varphi ' + \varphi '' \}
[/mm]
Ist das richtig?
Gruß
congo
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Hallo congo.hoango,
> Ok, stimmt. Dann habe ich:
> $ [mm] \bruch{d}{dt}(\varphi '(t)+\varphi [/mm] $ (t))
> Heißt das $ [mm] \bruch{d}{dt} [/mm] $ nun, dass ich den Ausdruck nochmal ableiten muss?
> Dann hätte ich ja folgende Lösung:
> E $ [mm] \in \{\varphi | \varphi = \varphi ' + \varphi '' \} [/mm] $
Das [mm]\bruch{d}{dt}[/mm] steht nach ![[]](/images/popup.gif) hier nur vor der
partiellen ABleitung von L nach p.
Demnach steht hier:
[mm]\bruch{d}{dt}\left( \ \varphi'(t) \ \right)+\varphi(t)=0[/mm]
> Ist das richtig?
> Gruß
> congo
Gruss
MathePower
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Ok, hier bin ich wieder :)
Also wenn ich das nochmal ableite erhalte ich ja:
[mm] \varphi'' [/mm] = [mm] -\varphi
[/mm]
Eine mögliche Lösung mit [mm] \varphi [/mm] (0)=0 und [mm] \varphi (\bruch{\pi}{2})=1 [/mm] ist [mm] \varphi [/mm] (t) = sint. Richtig?
Und nochmal zum Sinn des ganzen...was habe ich denn dann anschaulich ausgerechnet? Was ist das genau für ein Minimum? Kann man sich das bildlich klar machen?
Dank und Gruß
vom congo
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Hallo congo.hoango,
> Ok, hier bin ich wieder :)
>
> Also wenn ich das nochmal ableite erhalte ich ja:
>
> [mm]\varphi''[/mm] = [mm]-\varphi[/mm]
>
> Eine mögliche Lösung mit [mm]\varphi[/mm] (0)=0 und [mm]\varphi (\bruch{\pi}{2})=1[/mm]
> ist [mm]\varphi[/mm] (t) = sint. Richtig?
Das ist genau die Lösung unter diesen Bedingungen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und nochmal zum Sinn des ganzen...was habe ich denn dann
> anschaulich ausgerechnet? Was ist das genau für ein
> Minimum? Kann man sich das bildlich klar machen?
Siehe hier: Wirkungsintegral
>
> Dank und Gruß
> vom congo
Grus
MathePower
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