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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Eulersche DGL
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Eulersche DGL: Aufgabe 1
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:52 Di 08.05.2018
Autor: xcase

Aufgabe
Stellen Sie für folgende Probleme die Eulerschen Differentialgleichungen auf und bestimmen Die jeweils eine Extremale.

(i) [mm] \integral_{1}^{2}{t(x^{.}(t))^{2} - x(t) dt} \to [/mm] min; x(1) = 0, x(2) = 1
(ii) [mm] \integral_{1}^{2}{x^{.}(t)(1 + t^{2}x^{.}(t)) dt} \to [/mm] min; x(1) = 3, x(2) = 1
(iii) [mm] \integral_{0}^{1}{(x^{.}(t))^{2} + x(t)x^{.}(t) + 5 arctan(t^{3}) dt} \to [/mm] min; x(0) = 1, x(1) = 4

Ich hoffe die Punkte über den x sind zu erkennen in der Aufgabenstellung!
Ich habe bis jetzt die 3 Eueler DGL aufgestellt:

(i) [mm] 2tx^{..} [/mm] + [mm] 2x^{.} [/mm] = -1
(ii) [mm] 2t^{2}x^{..}+4tx^{.} [/mm] = 0
(iii) [mm] 2x^{..} [/mm] = 0

So! Bei der (iii) kommt x(t) = 3t +1 mittels Ansatz Polynom 1. Ordnung raus. Bei (i) soll x(t) = [mm] \bruch{3ln(t)}{2ln(2)} [/mm] - [mm] \bruch{t}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und bei (ii) x(t) = [mm] \bruch{4}{t} [/mm] - 1 rauskommen.

Ich würde erstmal nur wissen, wie geeignete Ansätze für (i) und (ii) aussehen. Ich meine kann man aus bloßen hinsehen einfach sagen für (ii):
Ansatz x(t) = [mm] \bruch{a}{t} [/mm] + b ?
Achja uns selbstverständlich versuche ich die DGL auszurechnen, da nach Satz gilt: Jede Lösung der eulerschen DGL wird als Extremal bezeichnet

Beste Grüße!

        
Bezug
Eulersche DGL: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Do 10.05.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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