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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:15 Fr 14.07.2006 | | Autor: | Jan2006 |
Guten Morgen zusammen!
Da ich heute Nachmittag Klausur schreibe, bitte ich euch mir die Lösung für folgende Aufgabe zu erklären/ herzuleiten. Es handelt sich dabei um eine alte Klausuraufgabe, jedoch weiß ich nicht genau, was ich machen muss.
Löse die Differentialgleichung:
[mm] x^{2}*y''+3*x*y'+y=x^{3} [/mm] (es handelt sich doch, um eine Eulersche, oder?)
a) ohne genaue Angabe, wie man es lösen soll
b) durch Variation der Konstanten (vllcht. ist das auch die einzige Möglichkeit, so eine Aufgabe zu lösen?)
c) Wie sieht die Lösung im Unterschied zu dieser Aufgabe aus, wo die Störfkt. = 0 ist [mm] (x^{2}*y''+3*x*y'+y=0)?
[/mm]
Wenn ihr mir helfen wollte, könnt ihr gerne fachausdrücke (Wromski-Det.) verwenden, jedoch fände ich es super von Euch, wenn ihr es ausführlich und leicht verständlich machen könntet.
Es tut mir leid, dass ich in den letzten Tagen ein wenig nervig im Forum bin und nicht richtig die Zeit hatte, mich bei den vielen Beantwortern zu bedanken! HABT VIELEN DANK IM VORAUS!
Jan
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Hallo Jan,
Also Lösung einer linearen DGL(linear in y) ist Lösung der homogenen Gleichung(Die "rechte Seite" oder Störfunktion wird Null gesetzt) + eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung. Also
[mm] y=y_h+y_p
[/mm]
Der Unterschied bei c ist also man läßt [mm] y_p [/mm] weg.
Bei der Euler DGL benutzt man die Standardsubstitution
[mm] x=e^t
[/mm]
[mm] u(t)=y(e^t)
[/mm]
[mm] u'(t)=y'(e^t)*e^t=y'(x)*x
[/mm]
[mm] u''(t)=y''(x)*x^2+y'(x)*x [/mm]
Wenn du das bei Deiner DGL substituierst(ersetze x durch t und y durch u) erhälst Du eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten für u(t). Die Du hoffentlich lösen kannst. Danach kannst Du die erhalte Funktion zurücksubstituieren.
![[]](/images/popup.gif) Variation der Konstanten ist dann eine spezielle Lösungsmethode für eine partikuläre Lösung. Man setzt für die Konstanten bei der Lösung der homogenen Gleichung Funktionen ein und setzt diese Gebilde in die DGL ein und versucht diese Funktionen zu bestimmen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:49 Fr 14.07.2006 | | Autor: | Jan2006 |
Kannst du das mit der Variation der Konstanten vllcht. ausführlicher (Formelmäßig) hinschreiben?
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Hallo Jan,
Die Formeln stehen doch in dem link ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:08 Fr 14.07.2006 | | Autor: | Jan2006 |
oh sorry.. bin ein bißchen angespannt
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