matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFunktionenEulersche Formel
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Funktionen" - Eulersche Formel
Eulersche Formel < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Eulersche Formel: Analysis 1 Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:03 Sa 11.06.2011
Autor: Highchiller

Aufgabe
Berechnen Sie mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes die Darstellung von [mm] $(\cos{(x)})^n$ [/mm] und [mm] $(\sin{(x)})^n$ [/mm] als Linearkombination der funktionen $1, [mm] \cos{(x)}, \sin{(x)}, \cos{(2x)}, \sin{(2x)}, [/mm] ..., [mm] \cos{(nx)}, \sin{(nx)}$, [/mm] d.h. als endliche Summe dieser Funktionen mit reellen Koeffizienten.

Also ich hab mich damit jetzt mal eingehend beschäftigt aber mir fehlt einfach der letzte Schritt.
Ich fange mal mit sinus an um zu zeigen wo mein Problem liegt.

[mm] $\sin{(x)}^n [/mm] \ = \ [mm] Im(e^{ix})^n [/mm] \ = \ [mm] \left ( \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \right )^n [/mm] \ = \  [mm] \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \left (\frac{e^{ix}}{2i} \right )^{n-k} \left (\frac{e^{-ix}}{2i} \right )^{k} (-1)^k [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{(2i)^n} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \left (e^{ix}\right )^{n-k} \left (e^{-ix}\right )^{k} (-1)^k [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{(2i)^n} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} e^{i(n-2k)x} (-1)^k$ [/mm]

nun wollte ich eigentlich auf den Eulerschen Satz hinaus:
$ [mm] e^{ix} [/mm] = [mm] \cos{(x)} [/mm] + i [mm] \sin{(x)}$ [/mm]
Aber das half irgendwie nicht weiter wegen dem i.

Nun habe ich im Internet nachrecherchiert und bin darauf gestoßen das folgendes gilt: (zumindest Behauptet er das einfach, ohne weiter zu begründen)

[mm] $\frac{1}{(2i)^n} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} e^{i(n-2k)x} (-1)^k [/mm] = [mm] \left\{\begin{matrix} \frac{1}{(2)^n \cdot (-1)^{\frac{n}{2}}} \ \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k \cos{((n-2k)x)}& \quad, fuer\ gerade\ n\\ \frac{1}{(2)^n \cdot (-1)^{\frac{n-1}{2}}} \ \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k \sin{((n-2k)x)} & \quad, fuer\ ungerade\ n \end{matrix}\right.$ [/mm]

Für gerade n betrachtet er also nur den reellen Teil, für ungerade dagegen nur den imaginären Teil, aber mit i.
Ich weiß das man auch sagt, der Kosinus sei gerade und der Sinus ungerade aber irgendwie versteh ich das nicht.

Weiß jemand einen Rat?
Für [mm] $\cos^n{x}$ [/mm] stoß ich auf das selbe Problem.
Vielen Dank schon einmal für die Hilfe.

LG André

        
Bezug
Eulersche Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 Sa 11.06.2011
Autor: MathePower

Hallo  Highchiller,


> Berechnen Sie mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes die
> Darstellung von [mm](\cos{(x)})^n[/mm] und [mm](\sin{(x)})^n[/mm] als
> Linearkombination der funktionen [mm]1, \cos{(x)}, \sin{(x)}, \cos{(2x)}, \sin{(2x)}, ..., \cos{(nx)}, \sin{(nx)}[/mm],
> d.h. als endliche Summe dieser Funktionen mit reellen
> Koeffizienten.
>  Also ich hab mich damit jetzt mal eingehend beschäftigt
> aber mir fehlt einfach der letzte Schritt.
>  Ich fange mal mit sinus an um zu zeigen wo mein Problem
> liegt.
>  
> [mm]\sin{(x)}^n \ = \ Im(e^{ix})^n \ = \ \left ( \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \right )^n \ = \ \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \left (\frac{e^{ix}}{2i} \right )^{n-k} \left (\frac{e^{-ix}}{2i} \right )^{k} (-1)^k \ = \ \frac{1}{(2i)^n} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \left (e^{ix}\right )^{n-k} \left (e^{-ix}\right )^{k} (-1)^k \ = \ \frac{1}{(2i)^n} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} e^{i(n-2k)x} (-1)^k[/mm]
>  
> nun wollte ich eigentlich auf den Eulerschen Satz hinaus:
>  [mm]e^{ix} = \cos{(x)} + i \sin{(x)}[/mm]
>  Aber das half irgendwie
> nicht weiter wegen dem i.
>  
> Nun habe ich im Internet nachrecherchiert und bin darauf
> gestoßen das folgendes gilt: (zumindest Behauptet er das
> einfach, ohne weiter zu begründen)


Die linke Seite der Gleichung ist für [mm]x \in \IR[/mm] ebenfalls reell.
Daher muss der Imaginärteil der rechten Seite verschwinden.


>  
> [mm]$\frac{1}{(2i)^n} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} e^{i(n-2k)x} (-1)^k[/mm]
> = [mm]\left\{\begin{matrix} \frac{1}{(2)^n \cdot (-1)^{\frac{n}{2}}} \ \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k \cos{((n-2k)x)}& \quad, fuer\ gerade\ n\\ \frac{1}{(2)^n \cdot (-1)^{\frac{n-1}{2}}} \ \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k \sin{((n-2k)x)} & \quad, fuer\ ungerade\ n \end{matrix}\right.$[/mm]
>  
> Für gerade n betrachtet er also nur den reellen Teil, für
> ungerade dagegen nur den imaginären Teil, aber mit i.
>  Ich weiß das man auch sagt, der Kosinus sei gerade und
> der Sinus ungerade aber irgendwie versteh ich das nicht.
>  
> Weiß jemand einen Rat?
>  Für [mm]\cos^n{x}[/mm] stoß ich auf das selbe Problem.
>  Vielen Dank schon einmal für die Hilfe.
>  
> LG André


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Eulersche Formel: Vertiefung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:32 Sa 11.06.2011
Autor: Highchiller

Das verstehe ich nicht.

Ich betrachte n und weiß auch, dass für gerade n das i vor der Summe verschwindet, aber wieso betrachte ich dann nur den Realteil auf der rechten Seite?
Für ungerade n bleibt genau ein i vor der Summe stehen, dass sich dann mit dem i vom Imaginärteil in der Summe wegkürzt. Zurück bleibt der Imaginärteil für ungerade n.

Mit deiner Hilfe konnte ich leider nicht viel anfangen. Tut mir Leid.

Bezug
                        
Bezug
Eulersche Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:04 Sa 11.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Highchiller,

> Das verstehe ich nicht.
>  
> Ich betrachte n und weiß auch, dass für gerade n das i
> vor der Summe verschwindet, aber wieso betrachte ich dann
> nur den Realteil auf der rechten Seite?


Nun, weil [mm]\sin^{n}\left(x\right)[/mm] reell ist.


>  Für ungerade n bleibt genau ein i vor der Summe stehen,
> dass sich dann mit dem i vom Imaginärteil in der Summe
> wegkürzt. Zurück bleibt der Imaginärteil für ungerade
> n.


Die rechte Seite kann doch so geschrieben werden:

[mm]\frac{1}{(2i)^n} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} e^{i(n-2k)x} (-1)^k =\frac{1}{(2i)^n} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \left( \ \cos\left( \ \left(n-2k\right)x \ \right) + i\sin\left( \ \left(n-2k\right)x \ \right) \ \right) (-1)^k[/mm]

Aus obigem Grund betrachtest Du hier

[mm]\operatorname{Re}\left( \ \frac{1}{(2i)^n} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \left( \ \cos\left( \ \left(n-2k\right)x \ \right) + i\sin\left( \ \left(n-2k\right)x \ \right) \ \right) (-1)^k \ \right)[/mm]


>  
> Mit deiner Hilfe konnte ich leider nicht viel anfangen. Tut
> mir Leid.



Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Eulersche Formel: Erleuchtung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:44 Sa 11.06.2011
Autor: Highchiller

Ahhhh...
und für gerade n bleibt der Realteil genau der Kosinus, für ungerade dagegen kürzt sich das i weg, stellt sich dafür aber zum Kosinus was dazu führt das der Sinus der reelle Teil ist.

Uff... Vielen Dank, das hät ich nie gesehen.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]