Eulersche Phi-Funktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Di 24.05.2011 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | Sei [mm] \phi [/mm] die eulersche [mm] \phi-Funktion. [/mm] Sind die folgenden Aussagen wahr? Begründe!
1. Für alle a,b [mm] \in \IN [/mm] gilt a>b [mm] \Rightarrow \phi(a)>\phi(b)
[/mm]
2. Es gibt ein [mm] k\in \IN, [/mm] sodass für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt [mm] \phi(n+k)>\phi(n) [/mm] |
Hallo,
im ersten Aufgabenteil ist die Aussage falsch, denn [mm] \phi(6)=2<4=\phi(5). [/mm] Daher kann die 2. Aussage für ein kleines k nicht stimmen. Ich gehe davon aus, dass man auch für ein großes k immer wieder ein n findet, für das die Aussage nicht gilt. Es gilt [mm] \phi(p)=p-1 [/mm] für p Primzahl und ist n+k eine Zahl aus vielen Primfaktoren, so ist die Aussage sicherlich falsch, allerdings weiß ich nicht, wie ich dies beweisen könnte.
Über einen Tipp bin ich sehr dankbar.
Katrin
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Hallo Katrin,
das sieht schon ganz gut aus.
> Sei [mm]\phi[/mm] die eulersche [mm]\phi-Funktion.[/mm] Sind die folgenden
> Aussagen wahr? Begründe!
> 1. Für alle a,b [mm]\in \IN[/mm] gilt a>b [mm]\Rightarrow \phi(a)>\phi(b)[/mm]
>
> 2. Es gibt ein [mm]k\in \IN,[/mm] sodass für alle [mm]n\in \IN[/mm] gilt
> [mm]\phi(n+k)>\phi(n)[/mm]
> Hallo,
> im ersten Aufgabenteil ist die Aussage falsch, denn
> [mm]\phi(6)=2<4=\phi(5).[/mm]
Genau. Ein einziges Gegenbeispiel reicht.
> Daher kann die 2. Aussage für ein
> kleines k nicht stimmen. Ich gehe davon aus, dass man auch
> für ein großes k immer wieder ein n findet, für das die
> Aussage nicht gilt. Es gilt [mm]\phi(p)=p-1[/mm] für p Primzahl und
> ist n+k eine Zahl aus vielen Primfaktoren, so ist die
> Aussage sicherlich falsch, allerdings weiß ich nicht, wie
> ich dies beweisen könnte.
Auch das stimmt alles. Du scheinst ein gutes Gefühl dafür zu haben, wonach man hier eigentlich suchen muss.
Ziel wird sein, die Existenz eines solchen k anzunehmen, und dann ein n zu finden, für das die Ungleichung nicht gilt. So ist z.B. [mm] \varphi(2k)>\varphi(k) [/mm] nur für gerade k wahr.
Die Frage ist also, ob ich aus der kanonischen Zerlegung eines beliebigen (geraden) k ein n konstruieren kann, für das die Vermutung nicht gilt.
Grüße
reverend
> Über einen Tipp bin ich sehr dankbar.
> Katrin
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Mi 25.05.2011 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für den Tipp. Ich habe jetzt ein entsprechendes n gefunden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mi 25.05.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Katrin,
> Vielen Dank für den Tipp. Ich habe jetzt ein
> entsprechendes n gefunden.
Damit dieser Thread vielleicht auch in Zukunft jemandem hilft, gib doch mal einen Hinweis (nicht unbedingt die Lösung).
Wie sähe z.B. n aus, wenn [mm] k=2^{3}*3*5^2*p^{a} [/mm] mit [mm] p\in\IP, a\in\IN, [/mm] a>2 ist?
Grüße
reverend
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Hallo,
ich bin jetzt etwas anders vorgegangen. Durch die Ungleichung [mm] \phi(2k)>\phi(k) [/mm] kam ich auf die Idee, dass wir schonmal [mm] k*\phi(k)=\phi(k^2) [/mm] bewiesen haben und habe die Aufgabe dann damit gelöst.
Katrin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Mi 25.05.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> ich bin jetzt etwas anders vorgegangen. Durch die
> Ungleichung [mm]\phi(2k)>\phi(k)[/mm] kam ich auf die Idee, dass wir
> schonmal [mm]k*\phi(k)=\phi(k^2)[/mm] bewiesen haben und habe die
> Aufgabe dann damit gelöst.
Gute Idee.
Grüße
reverend
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