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Forum "Zahlentheorie" - Eulersche Phi funktion
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Eulersche Phi funktion: Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:11 Sa 09.05.2015
Autor: AragornII

Aufgabe
a) Man gebe jeweils den Wert von x an.

[mm] $x=\phi(120)$ [/mm]
[mm] $x=\phi(296)$ [/mm]
[mm] $x=\phi(182)$ [/mm]
[mm] $x=\phi(555)$ [/mm]

b) [mm] $x=ord_{11}(9)$ [/mm]
[mm] $x=ord_{13}(10)$ [/mm]
[mm] $x=ord_{7}(5)$ [/mm]
[mm] $x=ord_{17}(3)$ [/mm]

Hallo, bei [mm] $x=\phi(120)$ [/mm] habe ich

[mm] $x=\phi(120)$ [/mm] = [mm] $\phi(8)*\phi(3)*\phi(5)$ [/mm] = $4*4*2$ = $32$
[mm] $x=\phi(296)$ [/mm] = [mm] $\phi(8)*\phi(37)$ [/mm] = $4*36$ = $144$
[mm] $x=\phi(182)$ [/mm] = [mm] $\phi(2)*\phi(7)*\phi(13)$ [/mm] = $1*6*12$ = $72$
[mm] $x=\phi(555)$ [/mm] = [mm] $\phi(3)*\phi(5)*\phi(37)$ [/mm] = $2*5*36$ = $360$


ist a) richtig?

bei b) hab ich probleme..

[mm] $x=ord_{11}(9)$ [/mm] =
[mm] $\phi(11)=10$ [/mm]

dann komme ich nicht weiter ich habe mal im forum gelesen dass der kleine Satz von Fermat wichtig wäre, ob es speziell bei meinen Aufgaben wichtig ist weiß ich nicht.. ich hoffe jemand kann mir helfen.

LG





        
Bezug
Eulersche Phi funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:40 Sa 09.05.2015
Autor: felixf

Moin!

> a) Man gebe jeweils den Wert von x an.
>  
> [mm]x=\phi(120)[/mm]
>  [mm]x=\phi(296)[/mm]
>  [mm]x=\phi(182)[/mm]
>  [mm]x=\phi(555)[/mm]
>  
> b) [mm]x=ord_{11}(9)[/mm]
>  [mm]x=ord_{13}(10)[/mm]
>  [mm]x=ord_{7}(5)[/mm]
>  [mm]x=ord_{17}(3)[/mm]
>
>  Hallo, bei [mm]x=\phi(120)[/mm] habe ich
>  
> [mm]x=\phi(120)[/mm] = [mm]\phi(8)*\phi(3)*\phi(5)[/mm] = [mm]4*4*2[/mm] = [mm]32[/mm]
>  [mm]x=\phi(296)[/mm] = [mm]\phi(8)*\phi(37)[/mm] = [mm]4*36[/mm] = [mm]144[/mm]
>  [mm]x=\phi(182)[/mm] = [mm]\phi(2)*\phi(7)*\phi(13)[/mm] = [mm]1*6*12[/mm] = [mm]72[/mm]

Soweit ok.

>  [mm]x=\phi(555)[/mm] = [mm]\phi(3)*\phi(5)*\phi(37)[/mm] = [mm]2*5*36[/mm] = [mm]360[/mm]

Also [mm] $\phi(5)$ [/mm] ist nicht gleich 5, und somit ist das Endergebnis falsch. Die anderen Zahlen sind ok.

> bei b) hab ich probleme..

Wie habt ihr denn [mm] $ord_a(b)$ [/mm] definiert und was wisst ihr darüber?

> [mm]x=ord_{11}(9)[/mm] =
>  [mm]\phi(11)=10[/mm]

Wieso ist [mm] $ord_{11}(9) [/mm] = [mm] \phi(11)$? [/mm]

> dann komme ich nicht weiter ich habe mal im forum gelesen
> dass der kleine Satz von Fermat wichtig wäre, ob es

Laut dem Satz von Fermat ist [mm] $\phi(11)$ [/mm] ein Vielfaches der Ordnung von 9 modulo 11. Also ist die Ordnung entweder 1, 2, 5 oder 10.

Kann es 1 sein? Warum/warum nicht? (Das kann man durch "direktes Hinsehen" beantworten.)

Kann es 2 sein? Warum/warum nicht? (Das kann man durch "direktes Hinsehen" beantworten.)

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Eulersche Phi funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:01 Sa 09.05.2015
Autor: AragornII

Danke Felix.

ja es war ein schreibfehler phi von 5 wäre 4 und als ergebnis wäre es dann 288.

so zur b)

1 kann es nicht sein, denn
[mm] $9^1 \not\equiv [/mm] 1$ mod 11
[mm] $9^2 \not\equiv [/mm] 1$ mod 11
[mm] $9^5 \equiv [/mm] 1$ mod 11
[mm] $9^{10} \not\equiv [/mm] 1$ mod 11

d.h die 5 stimmt. also ist mein $x=5$ stimmt das?

Bezug
                        
Bezug
Eulersche Phi funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:04 Sa 09.05.2015
Autor: felixf

Moin!

> Danke Felix.
>  
> ja es war ein schreibfehler phi von 5 wäre 4 und als
> ergebnis wäre es dann 288.
>  
> so zur b)
>  
> 1 kann es nicht sein, denn
>  [mm]9^1 \not\equiv 1[/mm] mod 11
>  [mm]9^2 \not\equiv 1[/mm] mod 11

Jo. Versuch doch mal herauszufinden, wie du 1 und 2 immer direkt ausschliessen kannst, ohne zu rechnen. Es gibt in [mm] $\{ 1, \dots, p - 1 \}$ [/mm] genau eine Zahl, die Ordnung 1 modulo $p$ hat, und genau eine Zahl, die Ordnung 2 modulo $p$ hat (ausser wenn $p = 2$ ist, dann gibt es keine die Ordnung 2 hat).

>  [mm]9^5 \equiv 1[/mm] mod 11

[ok]

>  [mm]9^{10} \not\equiv 1[/mm] mod 11

Das ist falsch. Wenn [mm] $9^5 \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{11}$ [/mm] ist, muss auch [mm] $9^{10} [/mm] = [mm] (9^5)^2 \equiv 1^2 [/mm] = 1 [mm] \pmod{11}$ [/mm] sein.

> d.h die 5 stimmt. also ist mein [mm]x=5[/mm] stimmt das?

Ja, da du das kleinste $x$ mit [mm] $5^x \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{11}$ [/mm] suchst.

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Eulersche Phi funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:13 Sa 09.05.2015
Autor: AragornII

ich werde morgen die anderen Aufgaben machen, dann schreibe ich hier nochmal rein falls ich wieder Probleme habe.

Danke :)

Bezug
                                
Bezug
Eulersche Phi funktion: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:53 Mo 18.05.2015
Autor: AragornII

Hallo nochmal, eine kurze Frage bzgl der Schreibweise.

Wenn ich die Ordnung 5 mod 128 bestimmen soll.

wäre  es so aufgeschrieben [mm] $ord_5(128)$ [/mm]
oder
[mm] $ord_{128}(5)$? [/mm]

LG





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Eulersche Phi funktion: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Mi 20.05.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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