Ewartungswert von 1/X < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Sa 26.01.2013 | | Autor: | Mousegg |
| Aufgabe | | Sei f(x)= 6*x*(1-x) [mm] \in [/mm] [0,1] die Dichte von X. Bestimmen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen Z=1/X |
Hallo ich habe diese Aufgabe in einer alten Klausur gefunden. Dort war folgendes als Lösung angegeben:
[mm] E(1/X)=\integral_{0}^{1}{1/x* 6*x*(1-x) dx}=3
[/mm]
Ich kann diese Lösung aber nicht ganz nachvollziehen.
Müsste man nicht zuerst die Dichte von 1/X über eine Dichtetransformation ermitteln ?
Ich habe das mal veruscht: mit Y=1/X
[mm] F_Y(y)=P(1/X1/y)=1-P(X<1/y) [/mm] also
[mm] F_Y(y)=1-\integral_{0}^{1/y}{ f(x) dx}=
[/mm]
[mm] 1-\integral_{0}^{y}{f(1/z)*-1/(z^2) dx}
[/mm]
[mm] =1+\integral_{0}^{y}{ f(1/z)*1/(z^2) dx} [/mm]
An dieser Stelle weiß ich jetzt aber durch das 1+ leider nicht wie ich die Dichte erhalte?
Ich hoffe jemand weiß Rat.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Sa 26.01.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin
>
> Ich kann diese Lösung aber nicht ganz nachvollziehen.
Den Wert oder den Rechenweg?
> Müsste man nicht zuerst die Dichte von 1/X über eine
> Dichtetransformation ermitteln ?
Beide Vorgehensweisen fuehren zum selben Ergebnis.
> Ich habe das mal veruscht: mit Y=1/X
> [mm]F_Y(y)=P(1/X1/y)=1-P(X<1/y)[/mm] also
Es ist also [mm] $F_Y(y)=1-F_X(1/y)$. [/mm] Leite nun nach $y$ ab.
Uebrigens: Woher stammt $y$?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Sa 26.01.2013 | | Autor: | Mousegg |
Hallo Luis,
Der Rechenweg ist klar aber mir ist nicht klar wieso man die Ausgangsdichte beibehalten kann oder wieso man dies direkt sieht.
Ich denke y sollte aus dem Wertebereich von 1/X stammen.
bei der Ableitung habe ich also
d/dx [mm] F_Y(y) [/mm] =- d/dx [mm] F_X(1/y)= [/mm] -d/dx [mm] \integral_{0}^{1/y}{f(x) dx}=-f(x)
[/mm]
Die Dichte kann aber ja nicht negativ sein. Ich weiß leider nicht wo der Fehler liegt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Sa 26.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Hallo Luis,
> Der Rechenweg ist klar aber mir ist nicht klar wieso man
> die Ausgangsdichte beibehalten kann oder wieso man dies
> direkt sieht.
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier, Seite 176-177.
>
> Ich denke y sollte aus dem Wertebereich von 1/X stammen.
Ist dir damit klar, dass [mm] $y\in(0,\infty)$?
[/mm]
>
> bei der Ableitung habe ich also
>
> d/dx [mm]F_Y(y)[/mm] =- d/dx [mm]F_X(1/y)=[/mm] -d/dx
> [mm]\integral_{0}^{1/y}{f(x) dx}=-f(x)[/mm]
*Ich* rechne so:
[mm] $F_Y'(y)=(1-F_X(1/y))'=(1/y^2)f_X(1/y) [/mm] $. Alles schoen nichtnegativ ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Sa 26.01.2013 | | Autor: | Mousegg |
Danke für den Link das war mir vorher nicht bekannt.
Aus deiner Rechnung folgt doch dann
[mm] $(1/y^2)f_X(1/y) [/mm] = [mm] 1/y^2*(6*1/y-1/y^2)=6*(1/y^3-1/y^4)
[/mm]
oder nicht ?
Also für den Erwartungswert
[mm] E[1/X]=\integral_{0}^{\infty}{6*(1/y^2-1/y^3) dx} [/mm] da [mm] y\in (0,\infty)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Sa 26.01.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin, fast alles richtig, habe aber selber geschlampt: Es ist $y>1$!
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Sa 26.01.2013 | | Autor: | Mousegg |
Weil [mm] x\in [/mm] [0,1] ist vermute ich mal ok.
Sehr gut jetzt ergibt alles einen Sinn wenn ich das Integral berechne bekomme ich auch das richtige Ergebnis.
Danke für die Unterstützung und die Aufklärungen
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