Ex. & Eind.keit: n'te Wurzel < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:12 Di 25.09.2012 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | Hi Leute,
es gibt diesen Satz: Sei $ x>0 $ und $ [mm] n\in \IN [/mm] $ beliebig. Dann $ [mm] \exists [/mm] !\ y>0 $ mit $ [mm] y^n=x [/mm] $. |
Und im Beweis wird diese rekursive Folge $ [mm] (a_k) [/mm] $ definiert: $ [mm] a_1:=x+1,\quad a_{k+1}:=a_k\left(1+\bruch{x-a_k^n}{na_k^n}\right) [/mm] $
Dann gezeigt, dass diese monoton fallend und nach unten beschränkt und damit konvergent ist mit dem Grenzwert [mm] $\limes_{k\to \infty}a_k [/mm] =y $
Warum sollte diese Folge genau den Grenzwert y haben? Soll das so definiert sein? Und was hat diese Folge überhaupt mit dem Satz zu tun?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Mir reichen auch Teilantworten 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Mi 26.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi Leute,
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> es gibt diesen Satz: Sei [mm]x>0[/mm] und [mm]n\in \IN[/mm] beliebig. Dann
> [mm]\exists !\ y>0[/mm] mit [mm]y^n=x [/mm].
> Und im Beweis wird diese
> rekursive Folge [mm](a_k)[/mm] definiert: [mm]a_1:=x+1,\quad a_{k+1}:=a_k\left(1+\bruch{x-a_k^n}{na_k^n}\right)[/mm]
>
> Dann gezeigt, dass diese monoton fallend und nach unten
> beschränkt und damit konvergent ist mit dem Grenzwert
> [mm]\limes_{k\to \infty}a_k =y[/mm]
>
> Warum sollte diese Folge genau den Grenzwert y haben? Soll
> das so definiert sein? Und was hat diese Folge überhaupt
> mit dem Satz zu tun?
na, das ist eigentlich ungünstig aufgeschrieben. Dort geht es sicher
erstmal um die Existenz eines solchen [mm] $y\,,$ [/mm] und da man, wenn man
sich nur um die Existenz kümmert (d.h.die Eindeutigkeit im Falle der
Existenz noch unklar ist), nicht weiß, ob das wirklich "das einzige"
Element aus [mm] $\IR$ [/mm] ist, dass die Bedingung erfüllt, würde ich es so
aufschreiben:
Deine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] sei wie oben. Ihr habt gezeigt, dass diese Folge
nun monoton fällt und nach unten beschränkt ist - außerdem sind alle
Folgenglieder [mm] $\ge 0\,,$ [/mm] soweit ich das auf die Schnelle überblicke.
Nach dem Hauptsatz über monotone Folgen ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergent:
Wir können also definieren
[mm] $$\tilde{y}:=\lim_{n \to \infty} a_n\,,$$
[/mm]
wobei dieses [mm] $\tilde{y}$ [/mm] nicht nur [mm] $\in \IR\,,$ [/mm] sondern sogar [mm] $\ge [/mm] 0$ sein
muss. Jetzt sollte sich nachweisen lassen, dass in der Tat gilt
[mm] $$\tilde{y}^n=x\,,$$
[/mm]
und wenn man das nachgewiesen hat, folgt schonmal, dass auch
[mm] $\tilde{y} [/mm] > 0$ sein muss: Wäre [mm] $\tilde{y}=0\,,$ [/mm] so auch [mm] $0=\tilde{y}^n=x$ [/mm] - was ein Widerspruch zu $x > [mm] 0\,$ [/mm] ist.
Für die Eindeutigkeit wäre nun nachzuweisen: Wenn [mm] $\tilde{\tilde{y}} [/mm] > 0$
so ist, dass [mm] $\tilde{\tilde{y}}^n=x$ [/mm] gilt, dann folgt schon [mm] $\tilde{\tilde{y}}=\tilde{y}\,.$
[/mm]
Und am Ende sagt man dann:Okay, es gibt ein $y > [mm] 0\,$ [/mm] mit [mm] $y^n=x\,,$
[/mm]
nämlich gerade [mm] $y:=\tilde{y}=\lim_{n \to \infty}a_n\,.$ [/mm] Und wegen der
Eindeutigkeit ist dieses [mm] $y\,,$ [/mm] also der Grenzwert der obigen Folge, auch
das einzige $y > [mm] 0\,$ [/mm] mit [mm] $y^n=x\,.$
[/mm]
Ist es jetzt irgendwie klarer?
Also nochmal kurz zusammengefasst:
Man sucht ein $y > [mm] 0\,$ [/mm] mit [mm] $y^n=x\,.$ [/mm] Mithilfe der Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] kann
man jedenfalls mal ein Element aus [mm] $\IR$ [/mm] festmachen, denn man weiß
nach dem Hauptsatz über monotone Folgen, dass die Folge [mm] $(a_n)_n$
[/mm]
einen Grenzwert in [mm] $\IR$ [/mm] haben muss - und wegen Eigenschaften der
Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] muss dieser Grenzwert schonmal [mm] $\ge [/mm] 0$ sein. Dieser
Grenzwert heißt [mm] $\tilde{y}\,,$ [/mm] warum auch immer. Und bringen tut er uns
bzgl. der Aufgabe nur was, wenn wir nachweisen können, dass in der
Tat [mm] $\tilde{y}^n=x\,$ [/mm] gilt. Dann muss auch schon [mm] $\tilde{y} [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] sein -
wir haben dann also bemerkt: [mm] $\tilde{y}\,,$ [/mm] welches irgendwie
umständlich über [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gefunden wurde, erfüllt schonmal [mm] $\tilde{y} [/mm] > [mm] 0\,$
[/mm]
und [mm] $\tilde{y}^n=x\,,$ [/mm] und auch letzteres folgt sicher aus der Definition
der Folge [mm] $(a_n)_n\,.$
[/mm]
Und warum macht man das so? Naja, einfach [mm] $y=\sqrt[n]{x}$ [/mm] zu setzen,
geht ja nicht - das ist das, was man am Ende eigentlich "als Ergebnis
mitnehmen will", dass man sowas machen darf, und das [mm] $y\,$ [/mm] dann zum
einen überhaupt existiert, $> [mm] 0\,$ [/mm] ist und [mm] $y^n=x\,$ [/mm] erfüllt.
Also muss man eine Idee haben, wie man mit dem Wissen, was man alles
aus der Theorie heraus über [mm] $\IR$ [/mm] weiß, vielleicht erstmal überhaupt ein
Element in [mm] $\IR$ [/mm] findet, dessen [mm] $n\,$-te [/mm] Potenz [mm] $x\,$ [/mm] ergibt, und welches
dabei auch $> [mm] 0\,$ [/mm] sein soll. Dann ist doch die Idee nicht mehr fern, dass
man, weil man ja was "von Folgen in [mm] $\IR$ [/mm] weiß", vielleicht mal versuchen
kann, eine Folge hinzuschreiben, von der man zwar den Grenzwert nicht
so klar angeben kann, aber man dennoch begründen kann, dass er
1. Existiert!
2. Seine [mm] $n\,$-te [/mm] Potenz ergibt [mm] $x\,$ [/mm] (muss sich mittels der die Folge
definierenden Eigenschaften begründen lassen, eventuell mit Wissen,
welche dieser Eigenschaften sich auf den Grenzwert übertragen...)
3. Mittels 2. bzw. Wissen für 2. sollte sich auch ergeben, dass der
Grenzwert echt positiv ist!
Immerhin hat man dann schonmal die Existenz eines solchen echt
positiven Elements aus [mm] $\IR$ [/mm] begründet, dessen [mm] $n\,$-te [/mm] Potenz [mm] $x\,$
[/mm]
ergibt.
Die eigentliche Kunst hier ist es eigentlich, eine passende Folge [mm] $(a_n)_n$
[/mm]
hinzuschreiben und nachzuweisen, dass sie auch das alles tut, was sie
tun soll. Du musst Dich hier auf den Standpunkt stellen "Was [mm] $\sqrt[n]{x}\,$ [/mm] überhaupt
nur sein soll, weiß ich nicht!"
Wenn jemand sagt:
"Naja, das soll eine echt positive Zahl sein, deren [mm] $n\,$-te [/mm] Potenz [mm] $x\,$ [/mm]
ergibt ($x > [mm] 0\,.$)"
[/mm]
Dann muss Dein Standpunkt sein: 1.) "Gibt's denn soeine?"
(Mögliche Antwort, die Dich erwartet: "Ja... Siehe oben, der
Grenzwert der Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] tut's! Denn:... (s.o.)!")
Dann muss bei Dir die folgende Frage kommen:
2.) "Okay, also immerhin gibt's schonmal eine solche Zahl, für jedes
$x > [mm] 0\,$ [/mm] können wir also eine hinschreiben. Gibt's denn vielleicht auch mehrere solcher Zahlen?"
Dann wird die Eindeutigkeit bewiesen, und Du weißt: Nein, es gibt genau
eine.
Damit kannst Du, bei festem [mm] $n\,,$ [/mm] jeder Zahl $x > 0$ eine und nur eine
Zahl $y > [mm] 0\,$ [/mm] so zuordnen, dass [mm] $y^n=x\,$ [/mm] gilt. Bezeichnest Du nun
diese Zahl [mm] $y\,$ [/mm] mit dem Symbol [mm] $\sqrt[n]{x}\,,$ [/mm] und definierst Du
[mm] $$\sqrt[n]{\cdot}: (0,\infty) \to (0,\infty) \text{ mit } (0,\infty) \ni [/mm] x [mm] \mapsto \sqrt[n]{\cdot}\;(x):=\sqrt[n]{x}\,,$$
[/mm]
so wurde dann also nachgewiesen, dass [mm] $\sqrt[n]{\cdot}$ [/mm] eine Abbldung
(bzw. Funktion) ist. (Für jedes feste $n [mm] \in \IN\,.$) [/mm]
Beachte hierbei: [mm] $\sqrt[n]{x}$ [/mm] bezeichnet eben GENAU DIE EINE
echt positive Zahl, deren [mm] $n\,$-te [/mm] Potenz [mm] $x\,$ [/mm] ergibt. Das dürfen
wir aber erst so sagen bzw. wir wissen erst, dass wir das so sagen
dürfen, wenn wir uns drum gekümmert haben, dass es so eine Zahl gibt
und das so eine Zahl eindeutig bestimmt ist!
Gruß,
Marcel
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Hallo saendra,
igitt. Muss das so mühsam sein?
> es gibt diesen Satz: Sei [mm]x>0[/mm] und [mm]n\in \IN[/mm] beliebig. Dann
> [mm]\exists !\ y>0[/mm] mit [mm]y^n=x [/mm].
> Und im Beweis wird diese
> rekursive Folge [mm](a_k)[/mm] definiert: [mm]a_1:=x+1,\quad a_{k+1}:=a_k\left(1+\bruch{x-a_k^n}{na_k^n}\right)[/mm]
"im Beweis" klingt so, also ob es nur diesen einen gäbe...
> Dann gezeigt, dass diese monoton fallend und nach unten
> beschränkt und damit konvergent ist mit dem Grenzwert
> [mm]\limes_{k\to \infty}a_k =y[/mm]
>
> Warum sollte diese Folge genau den Grenzwert y haben? Soll
> das so definiert sein?
Wenn ich mir die Folge so anschaue, erinnert sie mich doch erheblich an das ![[]](/images/popup.gif) Newton-Verfahren zur Nullstellenermittlung. Wenn man das allerdings schon hat, dann sollte auch mein weiter unten stehender Vorschlag keine Mühe mehr machen.
> Und was hat diese Folge überhaupt
> mit dem Satz zu tun?
Das hat Marcel gerade ganz wunderbar erklärt.
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Mir reichen auch
> Teilantworten
Es geht auch mit dem Zwischenwertsatz:
Sei [mm] y_1=\bruch{1}{2}x [/mm] und [mm] y_2=x+1. [/mm] Dann gilt [mm] y_1<\hat{y}
Da [mm] x=f(y)=y^n [/mm] aber stetig ist, existiert also ein [mm] \hat{y}, [/mm] so dass [mm] \hat{y}^n=x.
[/mm]
***
Aber natürlich gibt es den Zwischenwertsatz "noch gar nicht". Selbst den könnte man sich sparen, wenn man schon [mm] y=\wurzel[n]{x} [/mm] untersuchen könnte.
Ich wollte mit dem Hinweis auf Newton nur darauf hinweisen, wie die Folge gefunden wurde.
Wie man zeigt, dass sie gegen den gewünschten Wert konvergiert, ist damit natürlich noch nicht erledigt. Wenn ich recht sehe, hat auch Marcel das nicht getan, aber Dein Skript sollte da eigentlich genügend Material liefern.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:40 Mi 26.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Wie man zeigt, dass sie gegen den gewünschten Wert
> konvergiert, ist damit natürlich noch nicht erledigt. Wenn
> ich recht sehe, hat auch Marcel das nicht getan, aber Dein
> Skript sollte da eigentlich genügend Material liefern.
richtig. Ich hatte es angefangen, dann aber auf die Schnelle nicht gesehen,
wie man das zu Ende bringt (ich muss mir das nochmal in Ruhe angucken,
ich dachte eigentlich, es wäre der "Standardweg" bei rekursiven Folgen, dass
eine "Indexverschobene Folge" den gleichen Grenzwert wie die Folge hat, wenn
sie denn konvergiert und man damit eine Bestimmungsgleichung für den Grenzwert
erhält - aber irgendwie drehte ich mich - vll., weil's so spät war, im Kreis). Ich vertraue
auch auf das Skript oder die Vorlesung 
Ob das Newton-Verfahren hier schon bekannt ist, sei auch mal dahingestellt.
Nichtsdestotrotz ist das Stichwort gut, damit man sich so eine Folge selbst
(rückwärtsdenkend) konstruieren kann (später im Studium jedenfalls).
P.S.
$$ [mm] a_1:=x+1,\quad a_{k+1}:=a_k\left(1+\bruch{x-a_k^n}{na_k^n}\right) [/mm] $$
[mm] $$\Rightarrow (a_{k+1}/a_k)^n \to 1^n=1 \;\;\;(\textbf{\red{k}} \to \infty) \text{ liefert dann wohl das Gewünschte, denn:}$$
[/mm]
[mm] $$(1+(x-a_k^n)/n*a_k^n)^n$$
[/mm]
muss dann bei [mm] $\textbf{\red{k}} \to \infty$ [/mm] ja gegen [mm] $1\,$ [/mm] streben. (Zu später Stunde verwechselt
man auch gerne mal das [mm] $k\,$ [/mm] mit dem [mm] $n\,,$ [/mm] vielleicht kam' ich da auch gestern
deswegen nicht mehr drauf... Ich hätte die Aufgabe sowieso mit [mm] $N\,$ [/mm] formuliert, und
dann wäre [mm] $n\,$ [/mm] mein Index. Oder wenigstens hätte man [mm] $n_0$ [/mm] anstatt [mm] $n\,$ [/mm]
schreiben können. Generell sind solche Aufgaben auch didaktisch manchmal
besser formulierbar!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 Fr 28.09.2012 | | Autor: | saendra |
Hey ihr beiden. Ihr habt euch ja außerordentlich viel Mühe für mich gegeben. Das finde ich echt nett von euch, dankeschön .
Du hast gesagt wir nennen den Grenzwert von $ [mm] (a_k) [/mm] $ einfach $ [mm] \tilde [/mm] y $, also $ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}a_k:=\tilde [/mm] y $.
Dann muss ich aber noch zeigen, dass $ [mm] \tilde y^n=x [/mm] $ ist.
Kann ich das so machen?: $ [mm] a_{k+1}=a_k\left(1+\bruch{x-a_k^n}{na_k^n}\right) \iff a_{k+1}=a_k+\bruch{x}{na_k^{n-1}}-\bruch{a_k}{n} [/mm] $. Dann den Limes bilden. Blöde Zwischenfrage: Ist der Limes bilden eine Äquivalenzumformung? Falls das geht, dann sieht es so aus:
$ [mm] \tilde [/mm] y [mm] =\tilde [/mm] y [mm] +\bruch{x}{n\tilde y^{n-1}}-\bruch{\tilde y}{n} \iff [/mm] ... [mm] \iff \tilde y^n=x [/mm] $ ?
Grüße und danke nochmals.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:09 Fr 28.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hey ihr beiden. Ihr habt euch ja außerordentlich viel
> Mühe für mich gegeben. Das finde ich echt nett von euch,
> dankeschön .
>
> Du hast gesagt wir nennen den Grenzwert von [mm](a_k)[/mm] einfach
> [mm]\tilde y [/mm], also [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}a_k:=\tilde y [/mm].
>
> Dann muss ich aber noch zeigen, dass [mm]\tilde y^n=x[/mm] ist.
>
> Kann ich das so machen?:
> [mm]a_{k+1}=a_k\left(1+\bruch{x-a_k^n}{na_k^n}\right) \iff a_{k+1}=a_k+\bruch{x}{na_k^{n-1}}-\bruch{a_k}{n} [/mm].
> Dann den Limes bilden. Blöde Zwischenfrage: Ist der Limes
> bilden eine Äquivalenzumformung?
nein, das ist nicht der Fall. Du brauchst das aber auch gar nicht
Mit den Grenzwertsätzen für konvergente Folgen bekommst Du:
aus [mm] a_{k+1}=a_k+\bruch{x}{na_k^{n-1}}-\bruch{a_k}{n} [/mm] folgt mit k [mm] \to \infty, [/mm] dass
[mm]\tilde y =\tilde y +\bruch{x}{n\tilde y^{n-1}}-\bruch{\tilde y}{n}[/mm]
gilt. Und daraus erhältst Du das Gewünschte (so wie Du es unten gemacht hast)
FRED
> Falls das geht, dann
> sieht es so aus:
>
> [mm]\tilde y =\tilde y +\bruch{x}{n\tilde y^{n-1}}-\bruch{\tilde y}{n} \iff ... \iff \tilde y^n=x[/mm]
> ?
>
>
> Grüße und danke nochmals.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:33 Fr 28.09.2012 | | Autor: | saendra |
super, klasse! Vielen Dank auch dir!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Sa 29.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey ihr beiden. Ihr habt euch ja außerordentlich viel
> Mühe für mich gegeben. Das finde ich echt nett von euch,
> dankeschön .
>
> Du hast gesagt wir nennen den Grenzwert von [mm](a_k)[/mm] einfach
> [mm]\tilde y [/mm], also [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}a_k:=\tilde y [/mm].
>
> Dann muss ich aber noch zeigen, dass [mm]\tilde y^n=x[/mm] ist.
>
> Kann ich das so machen?:
> [mm]a_{k+1}=a_k\left(1+\bruch{x-a_k^n}{na_k^n}\right) \iff a_{k+1}=a_k+\bruch{x}{na_k^{n-1}}-\bruch{a_k}{n} [/mm].
ich hätte es halt so gemacht (etwas übertrieben ausführlich):
[mm] $$a_{k+1}=a_k\left(1+\bruch{x-a_k^n}{na_k^n}\right)$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow a_{k+1}/a_k=\left(1+\bruch{x-a_k^n}{na_k^n}\right)$$
[/mm]
(Warum darf ich durch [mm] $a_k$ [/mm] teilen?)
[mm] $$\Rightarrow \lim_{k \to \infty}(a_{k+1}/a_k)=\lim_{k \to \infty}\left(1+\bruch{x-a_k^n}{na_k^n}\right)$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow \lim_{k \to \infty}a_{k+1}/\lim_{k \to \infty}a_{k+1}=\lim_{k \to \infty}\left(1+\bruch{x-a_k^n}{na_k^n}\right) [/mm] $$ (Warum geht das linkerhand?)
[mm] $$\Rightarrow 1=1+\lim_{k \to \infty} \bruch{x-a_k^n}{na_k^n}$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow \bruch{\lim_{k \to \infty} (x-a_k^n)}{\lim_{k \to \infty} (na_k^n)}=0$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow \lim_{k \to \infty} {x-a_k^n}=0$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow x-\lim_{k \to \infty} {a_k^n}=0$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow x-(\lim_{k \to \infty} a_k)^n=0$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow \tilde{y}^n=x\,.$$
[/mm]
Man kann aber auch schneller drangehen (vor allem als geübter Mensch
benutzt man gewisse "Limes"-Regeln, ohne sie alle nochmal zu benennen):
[mm] $$a_{k+1}=a_k\left(1+\bruch{x-a_k^n}{na_k^n}\right) \iff a_{k+1}$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow \tilde{y}=\tilde{y}\left(1+\frac{x-\tilde{y}^n}{n*\tilde{y}^n}\right)$$
[/mm]
(Wobei hier schon einiges passiert ist!)
Jetzt denkt man kurz nach und weiß (aus vorangegangenen
Überlegungen) schon, dass [mm] $\tilde{y} \not=0$ [/mm] sein muss, also folgt, dass
[mm] $$1+\frac{x-\tilde{y}^n}{n*\tilde{y}^n}=1$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$\frac{x-\tilde{y}^n}{n*\tilde{y}^n}=0$$
[/mm]
sein muss.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Mi 03.10.2012 | | Autor: | saendra |
Danke vielmals nochmal Marcel,
hab dein Text durchgearbeitet und angewandt
Danke!
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