Exakte DGL/Integrierender Fakt < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Do 10.11.2011 | | Autor: | CON40 |
Hallo,
ich bearbeite gerade ein Übungsblatt für gewöhnliche Differentialgleichung und bin bei folgender Aufgabe auf ein Problem gestoßen :
[mm] \fedon\mixonAufgabe:
[/mm]
Prüfen Sie folgende Differentialgleichungen auf Exaktheit und bestimmen Sie gegebenfalls einen integrierenden Faktor. Finden Sie Lösungen der Gleichungen in implizifer Form, und, wenn möglich, lösen Sie nach x bzw y auf.
a) [mm] (2xy^4 e^y+2xy^3+y)dx [/mm] + [mm] (x^2 y^4 e^y-x^2 y^2-3x)dy=0
[/mm]
<=> g(x,y)dx+h(x,y)dy=0
b) [mm] (1+2x^2 y^2)dx+yx^3dy=0
[/mm]
Lösung:
Mein problem beschränkt sich hauptsächlich auf die Aufgabe a), da ich bei der b) schon einen integrierenden Faktor finden konnte.
Bei Aufgabe a erhalte ich, dass pdiff(g,y)!=pdiff(h,x) , somit ist die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt und die Differentialgleichung nicht exakt.
Ich weiß, dass ich einen integrierenden Faktor M(x) finde, wenn ich
[mm] \bruch{(\bruch{\delta g}{\delta y} - \bruch{\delta h}{\delta x})}{(h)} [/mm] = (ln |M|)'
berechne und [mm] h\not=0 [/mm] ist und die linke Seite nur von x abhängt.
Ich bekomme aber folgendes heraus:
[mm] \bruch{\delta g}{\delta y} [/mm] = [mm] 8xy^3 e^y+2xy^4 e^y+6xy^2+1
[/mm]
[mm] \bruch{\delta h}{\delta x} [/mm] = [mm] 2xy^4 e^y-2xy^2-3
[/mm]
Diese sind ungleich, also suche ich einen integrierenden Faktor M(x) nach der oben beschriebenen Mehtode, dabei erhalte ich:
[mm] \bruch{(\bruch{\delta g}{\delta y} - \bruch{\delta h}{\delta x})}{(h)} =\bruch{ (8xy^3 e^y+2xy^4 e^y+6xy^2+1-2xy^4 e^y+2xy^2+3)}{(x^2 y^4 e^y-x^2 y^2-3x)}
[/mm]
[mm] =\bruch{(8xy^3 e^y+8xy^2+4)}{(x^2 y^4 e^y-x^2 y^2-3x)}
[/mm]
An der Stelle hänge ich jetzt. Offensichtlich ist es doch so, dass das ganze sowohl von x undy abhängt, heißt das dann, dass es keinen integrierenden Faktor gibt??
Oder finde ich den anders?
Nun zur Aufgabe b) :
Hier habe ich nach oben beschriebenem Weg den integrierenden Faktor M(x)=x gefunden
Im weiteren habe ich dann eine Lösung für die nun exakte Differentialgleichung
[mm] x(1+2x^2 y^2 [/mm] )dx + [mm] yx^4 [/mm] dy = 0
berechnet und habe die Funktion
F(x,y) [mm] =\bruch{x^2}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} y^2 x^4 [/mm] + c mit [mm] c\in\IR [/mm] konstant
als Lösung bekommen.
Nun habe ich nach y umgestellt und erhalte:
y = [mm] \wurzel{- 1/(x^2)}
[/mm]
Was sagt mir das jetzt über die implizite Lösung?? gibt es die nicht?? Weil die negative Wurzel ja für Zahlen aus [mm] \IR [/mm] nicht definiert ist. Ich verstehe noch nicht so richtig, welche Aussage sich daraus ableitet??
Brauche dringend Hilfe und freue mich riesig über jede Antwort 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Do 10.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich bearbeite gerade ein Übungsblatt für gewöhnliche
> Differentialgleichung und bin bei folgender Aufgabe auf ein
> Problem gestoßen :
>
> [mm]\fedon\mixonAufgabe:[/mm]
>
> Prüfen Sie folgende Differentialgleichungen auf Exaktheit
> und bestimmen Sie gegebenfalls einen integrierenden Faktor.
> Finden Sie Lösungen der Gleichungen in implizifer Form,
> und, wenn möglich, lösen Sie nach x bzw y auf.
>
> a) [mm](2xy^4 e^y+2xy^3+y)dx[/mm] + [mm](x^2 y^4 e^y-x^2 y^2-3x)dy=0[/mm]
>
> <=> g(x,y)dx+h(x,y)dy=0
> b) [mm](1+2x^2 y^2)dx+yx^3dy=0[/mm]
>
>
> Lösung:
> Mein problem beschränkt sich hauptsächlich auf die
> Aufgabe a), da ich bei der b) schon einen integrierenden
> Faktor finden konnte.
>
> Bei Aufgabe a erhalte ich, dass pdiff(g,y)!=pdiff(h,x) ,
> somit ist die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt und
> die Differentialgleichung nicht exakt.
>
> Ich weiß, dass ich einen integrierenden Faktor M(x) finde,
> wenn ich
>
> [mm]\bruch{(\bruch{\delta g}{\delta y} - \bruch{\delta h}{\delta x})}{(h)}[/mm]
> = (ln |M|)'
>
> berechne und [mm]h\not=0[/mm] ist und die linke Seite nur von x
> abhängt.
>
> Ich bekomme aber folgendes heraus:
>
> [mm]\bruch{\delta g}{\delta y}[/mm] = [mm]8xy^3 e^y+2xy^4 e^y+6xy^2+1[/mm]
>
> [mm]\bruch{\delta h}{\delta x}[/mm] = [mm]2xy^4 e^y-2xy^2-3[/mm]
>
> Diese sind ungleich, also suche ich einen integrierenden
> Faktor M(x) nach der oben beschriebenen Mehtode, dabei
> erhalte ich:
>
> [mm]\bruch{(\bruch{\delta g}{\delta y} - \bruch{\delta h}{\delta x})}{(h)} =\bruch{ (8xy^3 e^y+2xy^4 e^y+6xy^2+1-2xy^4 e^y+2xy^2+3)}{(x^2 y^4 e^y-x^2 y^2-3x)}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(8xy^3 e^y+8xy^2+4)}{(x^2 y^4 e^y-x^2 y^2-3x)}[/mm]
>
> An der Stelle hänge ich jetzt. Offensichtlich ist es doch
> so, dass das ganze sowohl von x undy abhängt, heißt das
> dann, dass es keinen integrierenden Faktor gibt??
> Oder finde ich den anders?
Ich hab nicht alles nachgerechnet, aber vielleicht gibt es keinen int. Faktor, der nur von x abhängt.
Vielleicht gibts eine, der nur von y abhängt oder nur von x+y oder...
Sieh Dich mal hier um:
http://www.risc.jku.at/people/wwindste/Teaching/LogikAlsArbeitssprache/SS04/Papers/0255913+0255621.pdf
>
> Nun zur Aufgabe b) :
>
> Hier habe ich nach oben beschriebenem Weg den
> integrierenden Faktor M(x)=x gefunden
>
> Im weiteren habe ich dann eine Lösung für die nun exakte
> Differentialgleichung
>
> [mm]x(1+2x^2 y^2[/mm] )dx + [mm]yx^4[/mm] dy = 0
>
> berechnet und habe die Funktion
>
> F(x,y) [mm]=\bruch{x^2}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2} y^2 x^4[/mm] + c
> mit [mm]c\in\IR[/mm] konstant
>
> als Lösung bekommen.
>
> Nun habe ich nach y umgestellt und erhalte:
>
> y = [mm]\wurzel{- 1/(x^2)}[/mm]
Das verstehe ich nicht !
Die allg. Lösung der DGL bekommst Du, wenn Du die Gleichung
[mm] \bruch{x^2}{2}[/mm] [/mm] + [mm]\bruch{1}{2} y^2 x^4[/mm] = c
nach y auflöst.
Für c=0 bekommt man natürlich keine Lösung, wegen 0 [mm] \le[/mm] [mm]\bruch{1}{2} y^2 x^4[/mm]= - [mm] \bruch{x^2}{2}[/mm] \le [/mm] 0.
FRED
> er die
> implizite Lösung?? gibt es die nicht?? Weil die negative
> Wurzel ja für Zahlen aus [mm]\IR[/mm] nicht definiert ist. Ich
> verstehe noch nicht so richtig, welche Aussage sich daraus
> ableitet??
>
>
>
> Brauche dringend Hilfe und freue mich riesig über jede
> Antwort
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Do 10.11.2011 | | Autor: | CON40 |
Hallo Fred,
ok, ich habe jetzt einfach mal c nicht 0 gesetzt und
[mm] \bruch{x^2}{2}[/mm] [/mm] + [mm]\bruch{1}{2} y^2 x^4[/mm] = c
nach y aufgelöst.
Dann bekomme ich
[mm] y=\wurzel{\bruch{2}{x^4} c - \bruch{1}{x^2}}
[/mm]
Kann ich dann sagen, dass das die Lösung ist für alle x [mm] \not= [/mm] 0 und für
[mm] \bruch{2}{x^4} [/mm] c > [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] ??
Wäre das so korrekt?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Do 10.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> ok, ich habe jetzt einfach mal c nicht 0 gesetzt und
>
> [mm]\bruch{x^2}{2}[/mm][/mm] + [mm]\bruch{1}{2} y^2 x^4[/mm] = c
>
> nach y aufgelöst.
>
> Dann bekomme ich
>
> [mm]y=\wurzel{\bruch{2}{x^4} c - \bruch{1}{x^2}}[/mm]
>
> Kann ich dann sagen, dass das die Lösung ist für alle x
> [mm]\not=[/mm] 0 und für
> [mm]\bruch{2}{x^4}[/mm] c > [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] ??
>
> Wäre das so korrekt?
Nein. Es ist nicht vollständig. Im Falle c<0 gibts auch keine Lösungen (warum ?)
Was hat man im Falle c>0 ?
FRED
> Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Do 10.11.2011 | | Autor: | CON40 |
Oh ok, ich dachte wenn ich sage, dass
[mm]\bruch{2}{x^4}[/mm] c > [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm]
gelten muss, dann ist c > 0 impliziert, da im Falle c<0 die obrige Ungleichung nicht mehr erfüllt ist. Weiter würde ein negativer Ausdruck unter der Wurzel bei
[mm]y=\wurzel{\bruch{2}{x^4} c - \bruch{1}{x^2}}[/mm]
was nicht definiert wäre.
Muss dann zusätzlich bei c>0 gelten, dass c> [mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] ist, damit der Term unter der Wurzel nicht 0 wird?
Ist unter den Bed.
[mm]y=\wurzel{\bruch{2}{x^4} c - \bruch{1}{x^2}}[/mm]
die Lösung der DGL?
Vielen Dank nochmal
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Hallo CON40,
> Oh ok, ich dachte wenn ich sage, dass
>
> [mm]\bruch{2}{x^4}[/mm] c > [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm]
>
> gelten muss, dann ist c > 0 impliziert, da im Falle c<0 die
> obrige Ungleichung nicht mehr erfüllt ist. Weiter würde
> ein negativer Ausdruck unter der Wurzel bei
>
> [mm]y=\wurzel{\bruch{2}{x^4} c - \bruch{1}{x^2}}[/mm]
>
> was nicht definiert wäre.
>
> Muss dann zusätzlich bei c>0 gelten, dass c>
> [mm]\bruch{x^2}{2}[/mm] ist, damit der Term unter der Wurzel nicht 0
> wird?
>
> Ist unter den Bed.
>
> [mm]y=\wurzel{\bruch{2}{x^4} c - \bruch{1}{x^2}}[/mm]
>
> die Lösung der DGL?
>
Ja.
> Vielen Dank nochmal
>
Gruss
MathePower
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Hallo,
> Hallo,
>
> ich bearbeite gerade ein Übungsblatt für gewöhnliche
> Differentialgleichung und bin bei folgender Aufgabe auf ein
> Problem gestoßen :
>
> [mm]\fedon\mixonAufgabe:[/mm]
>
> Prüfen Sie folgende Differentialgleichungen auf Exaktheit
> und bestimmen Sie gegebenfalls einen integrierenden Faktor.
> Finden Sie Lösungen der Gleichungen in implizifer Form,
> und, wenn möglich, lösen Sie nach x bzw y auf.
>
> a) [mm](2xy^4 e^y+2xy^3+y)dx[/mm] + [mm](x^2 y^4 e^y-x^2 y^2-3x)dy=0[/mm]
>
> <=> g(x,y)dx+h(x,y)dy=0
> b) [mm](1+2x^2 y^2)dx+yx^3dy=0[/mm]
>
>
> Lösung:
> Mein problem beschränkt sich hauptsächlich auf die
> Aufgabe a), da ich bei der b) schon einen integrierenden
> Faktor finden konnte.
>
> Bei Aufgabe a erhalte ich, dass pdiff(g,y)!=pdiff(h,x) ,
> somit ist die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt und
> die Differentialgleichung nicht exakt.
>
> Ich weiß, dass ich einen integrierenden Faktor M(x) finde,
> wenn ich
>
> [mm]\bruch{(\bruch{\delta g}{\delta y} - \bruch{\delta h}{\delta x})}{(h)}[/mm]
> = (ln |M|)'
>
> berechne und [mm]h\not=0[/mm] ist und die linke Seite nur von x
> abhängt.
>
> Ich bekomme aber folgendes heraus:
>
> [mm]\bruch{\delta g}{\delta y}[/mm] = [mm]8xy^3 e^y+2xy^4 e^y+6xy^2+1[/mm]
>
> [mm]\bruch{\delta h}{\delta x}[/mm] = [mm]2xy^4 e^y-2xy^2-3[/mm]
>
> Diese sind ungleich, also suche ich einen integrierenden
> Faktor M(x) nach der oben beschriebenen Mehtode, dabei
> erhalte ich:
>
> [mm]\bruch{(\bruch{\delta g}{\delta y} - \bruch{\delta h}{\delta x})}{(h)} =\bruch{ (8xy^3 e^y+2xy^4 e^y+6xy^2+1-2xy^4 e^y+2xy^2+3)}{(x^2 y^4 e^y-x^2 y^2-3x)}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(8xy^3 e^y+8xy^2+4)}{(x^2 y^4 e^y-x^2 y^2-3x)}[/mm]
>
> An der Stelle hänge ich jetzt. Offensichtlich ist es doch
> so, dass das ganze sowohl von x undy abhängt, heißt das
> dann, dass es keinen integrierenden Faktor gibt??
> Oder finde ich den anders?
Der integrierende Faktor ist: $I(y) [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{1}{y^4}$
[/mm]
und $F(x,y) [mm] \; [/mm] = [mm] \; x^2*e^y+\frac{x^2}{y}+ \frac{x}{y^3}+C \; [/mm] = [mm] \; [/mm] 0$
- so ich mich nicht verrechnet habe.
LG, Martinius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Do 10.11.2011 | | Autor: | CON40 |
Hallo Martinius, wie genau bist Du auf den integrierenden Faktor gekommen?
Durch die Gleichung
[mm] \bruch{(\bruch{\delta g}{\delta y} - \bruch{\delta h}{\delta x})}{(h)}= [/mm] (ln |M|)'
Versuche es nachzurechnen, aber komm leider gar nicht drauf:-(
Danke aber schonmal für den Hinweis und die Antwort.
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Hallo CON40,
> Hallo Martinius, wie genau bist Du auf den integrierenden
> Faktor gekommen?
>
> Durch die Gleichung
>
> [mm]\bruch{(\bruch{\delta g}{\delta y} - \bruch{\delta h}{\delta x})}{(h)}=[/mm]
> (ln |M|)'
>
> Versuche es nachzurechnen, aber komm leider gar nicht
> drauf:-(
>
> Danke aber schonmal für den Hinweis und die Antwort.
Das ist einfach erzählt: durch (systematisches) Probieren. Ich habe mir aus (bisher zwei) Büchern über DGL die "Rezepte" herausgeschrieben, wie man integrierende Faktoren finden kann um exakte DGL zu erhalten.
Der passende Hinweis für deine DGL steht in Bronson / Costa, S.32 :
http://www.amazon.de/Schaums-Outline-Differential-Equations-Outlines/dp/0071456872/ref=sr_1_1?s=books-intl-de&ie=UTF8&qid=1320959263&sr=1-1
bzw. als e.-book:
![[]](/images/popup.gif) http://www.amazon.de/Schaums-Outline-Differential-Equations-ebook/dp/B000MAHBR8/ref=sr_1_3?s=books-intl-de&ie=UTF8&qid=1320959078&sr=1-3
Er lautet: wenn in der DGL die Terme
$ay [mm] \; [/mm] dx + bx [mm] \; [/mm] dy$
vorkommen, mit a=const. und b=const., dann könnte man probieren, ob der integrierende Faktor
$I(x,y) [mm] \; [/mm] = [mm] \; x^{a-1}*y^{b-1}$
[/mm]
möglicherweise eine exakte DGL liefert. Hier ist a=1 und b=-3.
LG, Martinius
Edit: Fehler berichtigt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 Sa 03.03.2012 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
> Hallo,
>
> > Hallo,
> >
> > ich bearbeite gerade ein Übungsblatt für gewöhnliche
> > Differentialgleichung und bin bei folgender Aufgabe auf ein
> > Problem gestoßen :
> >
> > [mm]\fedon\mixonAufgabe:[/mm]
> >
> > Prüfen Sie folgende Differentialgleichungen auf Exaktheit
> > und bestimmen Sie gegebenfalls einen integrierenden Faktor.
> > Finden Sie Lösungen der Gleichungen in implizifer Form,
> > und, wenn möglich, lösen Sie nach x bzw y auf.
> >
> > a) [mm](2xy^4 e^y+2xy^3+y)dx[/mm] + [mm](x^2 y^4 e^y-x^2 y^2-3x)dy=0[/mm]
>
> >
> > <=> g(x,y)dx+h(x,y)dy=0
> > b) [mm](1+2x^2 y^2)dx+yx^3dy=0[/mm]
> >
> >
> > Lösung:
> > Mein problem beschränkt sich hauptsächlich auf die
> > Aufgabe a), da ich bei der b) schon einen integrierenden
> > Faktor finden konnte.
> >
> > Bei Aufgabe a erhalte ich, dass pdiff(g,y)!=pdiff(h,x) ,
> > somit ist die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt und
> > die Differentialgleichung nicht exakt.
> >
> > Ich weiß, dass ich einen integrierenden Faktor M(x) finde,
> > wenn ich
> >
> > [mm]\bruch{(\bruch{\delta g}{\delta y} - \bruch{\delta h}{\delta x})}{(h)}[/mm]
> > = (ln |M|)'
> >
> > berechne und [mm]h\not=0[/mm] ist und die linke Seite nur von x
> > abhängt.
Du musst noch die zweite Möglichkeit beachten, dass der integrierende Faktor nur von y abhängt! (Hab' ich auch übersehen.)
[mm]\bruch{(\bruch{\delta h}{\delta x} - \bruch{\delta g}{\delta y})}{(g)}= \; -\frac{4}{y}[/mm]
LG, Martinius
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