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Exakte Folge von Vektorräumen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:27 Do 01.02.2007
Autor: Methos

Aufgabe
Sei $0 [mm] \mapsto V_{0} \mapsto V_{1} \mapsto [/mm] ... [mm] \mapsto V_{k} \mapsto [/mm] 0$ eine exakte Folge endlich-dimensionaler Vektorräume mit [mm] $\varphi_{i} [/mm] : [mm] V_{i-1} \mapsto V_{i}$. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] $\summe_{i=1}^{k} (-1)^i [/mm] dim [mm] V_{i} [/mm] = 0$

Hi,
bin bei obigen Problem soweit gekommen:
Man kann $dim [mm] V_{i}$ [/mm] schreiben als $dim [mm] V_{i} [/mm] = [mm] dim(Ker(\varphi_{i+1})) [/mm] + [mm] dim(Bild(\varphi_{i+1}))$ [/mm] und aufgrund der Exaktheit $dim [mm] V_{i} [/mm] = [mm] dim(Bild(\varphi_{i})) [/mm] + [mm] dim(Bild(\varphi_{i+1}))$. [/mm] Soweit richtig?
dann lässt sich die Summe ebenfalls ersetzen und somit verschwinden durch das wechselnde Vorzeichen (-1) alle Summanden bis auf [mm] $dim(Bild(\varphi_{0})) [/mm] + [mm] (-1)^k dim(Bild(\varphi_{k+1}))$. [/mm] Jetzt fällt mir aber eben nix mehr ein, warum diese Summe Null sein muss. Kann mir jemand helfen?
Gruß und Dank
Methos

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Exakte Folge von Vektorräumen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:28 Fr 02.02.2007
Autor: SEcki


>  bin bei obigen Problem soweit gekommen:
>  Man kann [mm]dim V_{i}[/mm] schreiben als [mm]dim V_{i} = dim(Ker(\varphi_{i+1})) + dim(Bild(\varphi_{i+1}))[/mm]
> und aufgrund der Exaktheit [mm]dim V_{i} = dim(Bild(\varphi_{i})) + dim(Bild(\varphi_{i+1}))[/mm].
> Soweit richtig?

Ja sehr richtig!

>  dann lässt sich die Summe ebenfalls ersetzen und somit
> verschwinden durch das wechselnde Vorzeichen (-1) alle
> Summanden bis auf [mm]dim(Bild(\varphi_{0})) + (-1)^k dim(Bild(\varphi_{k+1}))[/mm].

Ja, gut.

> Jetzt fällt mir aber eben nix mehr ein, warum diese Summe
> Null sein muss. Kann mir jemand helfen?

Hm, lol. Das ist banal ;-) Schau dir doch mal an, zwischen welchen Vektorräumen es Abbildungen sind, dann fällt es dir wohl wie Schuppen von den Augen :-)

Btw: das ist quasi die Eulersche Polyederformel ... jedenfalls sowas in der Art.

SEcki


Bezug
                
Bezug
Exakte Folge von Vektorräumen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:56 Fr 02.02.2007
Autor: Methos

Bitte lacht nicht, auch wenns für euch noch so banal is, für mich ist es nicht, sonst hätte ich die Frage ja nicht gestellt.
Naja, [mm] $\varphi_{0}$ [/mm] bildet zwischen $0$ und [mm] $V_{0}$ [/mm] ab und [mm] $\varphi_{k+1}$ [/mm] bildet zwischen [mm] $V_{k}$ [/mm] und $0$ ab, soweit war mir das schon klar. Womit ich persönlich Probleme habe, ist der Umgang mit $Bild$, bedeudet das, dass [mm] $Bild(\varphi_{0}) [/mm] = [mm] V_{0}$ [/mm] und [mm] $Bild(\varphi_{k+1}) [/mm] = 0$? Dann wäre  beim zweiten klar, dass die Dimension 0 ist, aber woher soll ich wissen, welche Dimension [mm] $V_{0}$ [/mm] hat?? Eulerscher Polyeder sagt mir gar nix.
Gruß
Methos

Bezug
                        
Bezug
Exakte Folge von Vektorräumen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:16 Fr 02.02.2007
Autor: statler

guten Morgen!

> Bitte lacht nicht, auch wenns für euch noch so banal is,
> für mich ist es nicht, sonst hätte ich die Frage ja nicht
> gestellt.

Kein Mensch lacht darüber!

>  Naja, [mm]\varphi_{0}[/mm] bildet zwischen [mm]0[/mm] und [mm]V_{0}[/mm] ab und
> [mm]\varphi_{k+1}[/mm] bildet zwischen [mm]V_{k}[/mm] und [mm]0[/mm] ab, soweit war
> mir das schon klar. Womit ich persönlich Probleme habe, ist
> der Umgang mit [mm]Bild[/mm], bedeutet das, dass [mm]Bild(\varphi_{0}) = V_{0}[/mm]
> und [mm]Bild(\varphi_{k+1}) = 0[/mm]? Dann wäre  beim zweiten klar,
> dass die Dimension 0 ist, aber woher soll ich wissen,
> welche Dimension [mm]V_{0}[/mm] hat??

Die Dimension des Bildes von [mm] \phi_{0} [/mm] ist hier die Dimension des Bildes des Nullraums, aber eine lineare Abb. bildet den Nullraum auf den Nullrum ab. Der Wertevorrat - also [mm] V_{0} [/mm] - kann so groß sein wie er will.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


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