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| Aufgabe | Sei
[mm] \* [/mm] A := [mm] \IZ[x,y]
[/mm]
[mm] \* [/mm] I := (2)+(x)+(y) [mm] \subseteq [/mm] A ein Ideal
Konstruieren Sie eine exakte Sequenz von A-Moduln mit der folgenden Form:
$$ [mm] 0\overset{\iota}{\to} [/mm] A [mm] \overset{\phi}{\to} A^3 \overset{\pi}{\to} A^3 \overset{i}{\to} [/mm] I [mm] \to [/mm] 0. $$ |
Hallo zusammen,
ich habe mir folgende Abbildungen ausgedacht:
Die Abbildung [mm] \iota
[/mm]
[mm] \iota:A \to A^3
[/mm]
[mm] \iota(f):=(0,0,f)
[/mm]
Sie ist eindeutig injektiv.
Die Abbildung [mm] \phi
[/mm]
[mm] \phi:A^3 \to A^3
[/mm]
[mm] \phi(f,g,h):=(f,g,0)
[/mm]
Die Abbildung [mm] \pi
[/mm]
[mm] \pi:A^3 \to [/mm] A
[mm] \pi(f,g,h):=(0,0,h_1+h_2+h_3), [/mm]
wobei wir h aufteilen in [mm] h=h_1+h_2+h_3 [/mm] mit [mm] h_1 [/mm] dem größtmöglichen Teil von h welcher einen Faktor 2 hat, [mm] h_2 [/mm] dem größtmöglichen Teil mit Faktor x, und [mm] h_3 [/mm] ist der größtmögliche Teil mit einen y-Faktor. Ein Teil darf aber nicht mehrfach vorkommen (also zum Beispiel wenn f=x*y*2 dann verwenden wir ihn nur einmal). Falls noch ein Rest übrig bleibt der nicht von diesen drei Teilen [mm] h_1, h_2 [/mm] oder [mm] h_3 [/mm] erfasst wird, dann setzen wir ihn gleich 0. Auf diese Weise müßten alle Polynome in I wieder auf sich selbst abgebildet werden, und so müsste die Abbildung also eigentlich surjektiv sein, oder?
Funktioniert dieser Weg so?
In der Übung damals hatten wir die Lösung nur ganz kurz besprochen. Es wurde etwas von freier Auflösung erwähnt, dass ker [mm] \pi [/mm] = [mm] \left<\vektor{x \\ -2 \\ 0}, \vektor{y \\ 0 \\ -2}, \vektor{0 \\ -y \\ x}\right>, \phi=\pmat{ 2 & -2 & 0 \\ y & 0 & -2 \\ 0 & -y & x } [/mm] usw... aber irgendwie kann ich damit wenig anfangen.
Ich freue mich auf eure Antworten.
Viele Grüße,
Vilietha
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Mo 13.02.2012 | | Autor: | meili |
Hallo Vilietha,
> Sei
> [mm]\*[/mm] A := [mm]\IZ[x,y][/mm]
> [mm]\*[/mm] I := (2)+(x)+(y) [mm]\subseteq[/mm] A ein Ideal
> Konstruieren Sie eine exakte Sequenz von A-Moduln mit der
> folgenden Form:
> [mm]0\overset{\iota}{\to} A \overset{\phi}{\to} A^3 \overset{\pi}{\to} A^3 \overset{i}{\to} I \to 0.[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> ich habe mir folgende Abbildungen ausgedacht:
Deine Abbildungen stimmen nicht so recht mit denen der Aufgabenstellung
überein.
>
> Die Abbildung [mm]\iota[/mm]
> [mm]\iota:A \to A^3[/mm]
> [mm]\iota(f):=(0,0,f)[/mm]
> Sie ist eindeutig injektiv.
Das könnte die Abbildung [mm]\phi[/mm] sein:
Die Abbildung [mm]\phi[/mm]
[mm]\phi:A \to A^3[/mm]
[mm]\phi(f):=(0,0,f)[/mm]
Sie ist eindeutig injektiv.
Die Abbildung [mm]\iota[/mm] könnte so aussehen:
[mm]\iota:0 \to A[/mm]
[mm]\iota(0):= 0[/mm]
>
> Die Abbildung [mm]\phi[/mm]
> [mm]\phi:A^3 \to A^3[/mm]
> [mm]\phi(f,g,h):=(f,g,0)[/mm]
Das sieht nach dem Definitions- und Wertebereich nach Abbildung [mm]\pi[/mm] aus.
Ob die Abbildungsvorschrift ok ist,oder ob die folgende mehr Sinn macht?
Jedenfalls fehlt noch Die Abbildung i
[mm]i:A^3 \to[/mm] I mit [mm] Bild($\pi$) [/mm] = Kern(i).
>
> Die Abbildung [mm]\pi[/mm]
[mm]\pi:A^3 \to A^3 [/mm]
> [mm]\pi(f,g,h):=(0,0,h_1+h_2+h_3),[/mm]
> wobei wir h aufteilen in [mm]h=h_1+h_2+h_3[/mm] mit [mm]h_1[/mm] dem
> größtmöglichen Teil von h welcher einen Faktor 2 hat,
> [mm]h_2[/mm] dem größtmöglichen Teil mit Faktor x, und [mm]h_3[/mm] ist
> der größtmögliche Teil mit einen y-Faktor. Ein Teil darf
> aber nicht mehrfach vorkommen (also zum Beispiel wenn
> f=x*y*2 dann verwenden wir ihn nur einmal). Falls noch ein
> Rest übrig bleibt der nicht von diesen drei Teilen [mm]h_1, h_2[/mm]
> oder [mm]h_3[/mm] erfasst wird, dann setzen wir ihn gleich 0. Auf
> diese Weise müßten alle Polynome in I wieder auf sich
> selbst abgebildet werden, und so müsste die Abbildung
> also eigentlich surjektiv sein, oder?
> Funktioniert dieser Weg so?
Erst die Abbildung i sollte surjektiv sein. Die Abbildung [mm] $\pi$ [/mm] könnte wie beschrieben funktionieren.
>
> In der Übung damals hatten wir die Lösung nur ganz kurz
> besprochen. Es wurde etwas von freier Auflösung erwähnt,
> dass ker [mm]\pi[/mm] = [mm]\left<\vektor{x \\ -2 \\ 0}, \vektor{y \\ 0 \\ -2}, \vektor{0 \\ -y \\ x}\right>[/mm],
Vielleicht [mm] \pi=\pmat{ 2 & -2 & 0 \\ y & 0 & -2 \\ 0 & -y & x }[/mm]
> usw... aber irgendwie kann ich damit wenig anfangen.
>
>
> Ich freue mich auf eure Antworten.
>
> Viele Grüße,
> Vilietha
>
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:34 So 19.02.2012 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Meili,
vielen Dank für Deine Antwort!
Habe sie erst jetzt (zufällig entdeckt), da in der Übersicht immer nur angezeigt wurde dass die Fälligkeit abgelaufen ist. Aber sie hilft mir jetzt natürlich immer noch weiter! 
Viele Grüße,
Vilietha
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Mo 13.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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