Existenz Grenzwert < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei f: (0,1] [mm] \to \IR [/mm] gleichmäßig stetig. Dann existiert der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow0^+} [/mm] f(x) . Beweis! |
huhu,
hat jemand ne Idee hierzu? Ich denke, da muss das Folgenkriterium ran, bin mir aber nicht sicher.
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Hallo Evelyn,
> hat jemand ne Idee hierzu? Ich denke, da muss das
> Folgenkriterium ran, bin mir aber nicht sicher.
naja, du musst halt zeigen, dass der Grenzwert existiert.
Das machst du am besten, in dem du zeigst, dass [mm] $f(x_k)$ [/mm] eine Cauchy-Folge ist für alle Folgen [mm] (x_k)_{k\in\IN} [/mm] mit [mm] $x_k \to [/mm] 0$.
Um das zu zeigen, wirst du wohl die gleichmäßige Stetigkeit von f benutzen müssen.
Versuchs mal 
MFG,
Gono.
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uff^^ ok:
Seien [mm] (x_{k}) [/mm] und [mm] (y_{k}) [/mm] zwei beliebige Nullfolgen. Aus der gleichmäßigen Stetigkeit von f folgt,
dass [mm] |f(x_{k}) [/mm] - [mm] f(y_{k})| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ist. Setze nun y:= [mm] x_{1} [/mm] Nach dem Folgenkriterium folgt, dass f ( [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} x_{k} [/mm] ) - f ( [mm] \limes_{x_{1}\rightarrow x_{0}} y_{k}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} f(x_{k}) [/mm] - [mm] \limes_{x_{1}\rightarrow x_{0}} f(y_{k}) [/mm] = [mm] f(x_{0})-f(y_{0}) [/mm] = 0 Daher existiert der Grenzwert.
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Hiho,
> Seien [mm](x_{k})[/mm] und [mm](y_{k})[/mm] zwei beliebige Nullfolgen. Aus
> der gleichmäßigen Stetigkeit von f folgt,
> dass [mm]|f(x_{k})[/mm] - [mm]f(y_{k})|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] ist.
Nö. Wieso sollte das gelten? Da müsste schon eine Begründung her!
Bei dir scheinen einige Probleme mit den Definitionen vorzuliegen. Nachschlagen!
Also von vorn: Sei [mm] $(x_k)_{k\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge.
Wir betrachten nun die NEUE Folge mit [mm] $z_k [/mm] := [mm] f(x_k)$.
[/mm]
Uns interessiert ja nun, ob die Folge [mm] $(z_k)_{k\in\IN}$ [/mm] konvergiert.
Wir wissen in [mm] \IR [/mm] gilt, eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.
Also prüfen wir, ob [mm] $(z_k)_{k\in\IN}$ [/mm] eine Cauchy-Folge ist.
Was müssen wir dafür nachprüfen?
Schreibs mal hin, dann sehen wir weiter.
MFG,
Gono.
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ich habe die Definition
[mm] a_{n} [/mm] ist eine Cauchyfolge genau dann, wenn sie monoton und beschränkt ist.
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Hiho,
> ich habe die Definition
>
> [mm]a_{n}[/mm] ist eine Cauchyfolge genau dann, wenn sie monoton und
> beschränkt ist.
Blödsinn!
Ich hab doch vorhin sogar geschrieben, dass JEDE konvergente Folge in [mm] \IR [/mm] eine Cauchy-Folge ist. Und nicht jede Folge in [mm] \IR [/mm] ist offensichtlich monoton.
Also ein bisschen weniger schlampig arbeiten und mal korrekt recherchieren.
Ihr hattet die Definition einer Cauchy-Folge 100%ig!
Und wenn gibts auch andere Möglichkeiten im Internet, das mal nachzuschlagen.
Also nächster Versuch.
MFG,
Gono.
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okay nach wiki:
es gibt ein N [mm] \in \IN [/mm] sodass für alle m,n [mm] \ge [/mm] N gilt:
[mm] |a_{m} [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
ist jetzt mein [mm] a_{m} [/mm] hier unser [mm] x_{k} [/mm] und unser [mm] a_{n} [/mm] unser [mm] z_{k}?
[/mm]
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Hiho,
> es gibt ein N [mm]\in \IN[/mm] sodass für alle m,n [mm]\ge[/mm] N gilt:
> [mm]|a_{m}[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
da fehlt die Hälfte der Definition.
Wo kommt das [mm] \varepsilon [/mm] her? Fällt das vom Himmel? Ist das 1?
> ist jetzt mein [mm]a_{m}[/mm] hier unser [mm]x_{k}[/mm] und unser [mm]a_{n}[/mm] unser [mm]z_{k}?[/mm]
Von welcher Folge willst du denn zeigen, dass sie konvergiert?
Von welcher Folge musst du also zeigen, dass es eine Cauchy-Folge ist?
Stehen in der Definition zwei verschiedene Folgen drin?
Ich helf zwar gerne, aber bitte ein bisschen mehr nachdenken als "Was muss ich als nächstes Posten um möglichst wenig selbst denken zu müssen."
Du fragst dich doch sonst auch, was du eigentlich zeigen willst, mach es doch hier bitte auch BEVOR du postest.
MFG,
Gono.
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für [mm] \varepsilon [/mm] > 0
naja ich denk mal von [mm] z_{k}, [/mm] da wir ja wissen wollen, obder Grenzwert existiert der "Funktionenfolge":
wenn unser [mm] x_{k} [/mm] gegen 0 konvergiert, so auch unser [mm] f(x_{k}) [/mm] = [mm] z_{k}.
[/mm]
das ist meiner Meinung nach das was ich zeigen will.
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Hiho,
> für [mm]\varepsilon[/mm] > 0
Für ALLE [mm]\varepsilon > 0[/mm]!
> naja ich denk mal von [mm]z_{k},[/mm] da wir ja wissen wollen, obder
> Grenzwert existiert der "Funktionenfolge":
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wenn unser [mm]x_{k}[/mm] gegen 0 konvergiert, so auch unser
> [mm]f(x_{k})[/mm] = [mm]z_{k}.[/mm]
> das ist meiner Meinung nach das was ich zeigen will.
Jein.
Du sollst zeigen, dass der Grenzwert existiert, du sollst nicht zeigen, gegen welchen Grenzwert die Folge konvergiert.
Das wirst du ohne explizite Angabe von f auch gar nicht machen können.
Und genau darum reicht uns hier das Cauchy-Kriterium.
Das Cauchy-Kriterium macht nämlich eine reine Existenzaussage (nämlich, DASS ein Grenzwert existiert bzw DASS die Folge konvergiert).
Ok, nun haben wir also unsere Folge [mm] $z_k [/mm] = [mm] f(x_k)$
[/mm]
Du musst nun nach Cauchykriterium zeigen, dass für jedes [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] existiert, so dass für [mm] $m,n\ge [/mm] N$ gilt:
[mm] $|z_m [/mm] - [mm] z_n| [/mm] = [mm] |f(x_m) [/mm] - [mm] f(x_n)| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Naaa, nun begründe mal, warum es immer so ein N gibt.
Tipp: Wähle N so, dass [mm] $x_k [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] für [mm] $k\ge [/mm] N$
Es liegt dann an dir zu begründen, wo das [mm] \delta [/mm] herkommt, warum daraus dann [mm] $|f(x_m) [/mm] - [mm] f(x_n)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] gilt und wieso ein solches N immer existiert.
Nu hab ich dir den Beweis ja schon fast gemacht.....
MFG,
Gono.
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ich glaub ich steh aufm Schlauch^^
also was ich jetzt machen würde:
geschickt den grenzwert mit der dreiecksungleichung reinbringen:
[mm] |z_m [/mm] - [mm] z_n| [/mm] = [mm] |f(x_m) [/mm] - [mm] f(x_n)| [/mm] = [mm] |f(x_m) [/mm] - [mm] f(x_n) [/mm] +a -a| [mm] \le |f(x_m) [/mm] -a| + [mm] |f(x_n) [/mm] -a| < [mm] \varepsilon [/mm] + [mm] \varepsilon [/mm] = 2 [mm] \varepsilon
[/mm]
ich würde N = 2 [mm] \varepsilon [/mm] wählen
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Hiho,
> ich glaub ich steh aufm Schlauch^^
jo, aber sowas von.
> also was ich jetzt machen würde:
> geschickt den grenzwert mit der dreiecksungleichung
> reinbringen:
welchen Grenzwert? Du hast doch noch gar keinen Grenzwert. Du weißt doch gar nicht, ob dieser existiert.
Ich hab dir doch schon hingeschrieben, was du alles brauchst.
Vielleicht solltest du dir erstmal hinschreiben, was gleichmäßige Stetigkeit überhaupt bedeutet.
Dann wirst du feststellen, dass das schon ganz ähnlich dem aussieht, was du zeigen willst, nur dass du halt nur noch zeigen musst, dass die Voraussetzungen dafür auch gegeben sind!
MFG,
Gono.
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ok
meine Definition von gleichm Stetigkeit:
Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein [mm] \delta [/mm] > 0, sodass
bei |x-y| < [mm] \delta [/mm] gilt dass |f(x)-f(y)| < [mm] \varepsilon [/mm] .
(besonders bei der glm Stetigkeit ist für mich, dass [mm] \delta [/mm] nicht abhängig von x gewählt wird, sondern höchstens nur von [mm] \varepsilon)
[/mm]
Das Problem für mich ist denke ich, dass ich die Stetigkeit a la [mm] \delta [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] nicht verbinden kann mit den Folgen a la [mm] \varepsilon [/mm] und N...
Du sagst ich soll ein N wählen, allerdings hab ich das Verlangen bei Stetigkeit ein [mm] \delta [/mm] zu wählen... Ist das N vlt abhängig von [mm] \delta [/mm] ? ;P
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:49 Mo 13.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Evelyn,
> ok
> meine Definition von gleichm Stetigkeit:
>
> Zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert ein [mm]\delta[/mm] > 0, sodass
> bei |x-y| < [mm]\delta[/mm] gilt dass |f(x)-f(y)| < [mm]\varepsilon[/mm] .
>
> (besonders bei der glm Stetigkeit ist für mich, dass
> [mm]\delta[/mm] nicht abhängig von x gewählt wird, sondern
> höchstens nur von [mm]\varepsilon)[/mm]
>
>
> Das Problem für mich ist denke ich, dass ich die
> Stetigkeit a la [mm]\delta[/mm] und [mm]\varepsilon[/mm] nicht verbinden kann
> mit den Folgen a la [mm]\varepsilon[/mm] und N...
>
> Du sagst ich soll ein N wählen, allerdings hab ich das
> Verlangen bei Stetigkeit ein [mm]\delta[/mm] zu wählen... Ist das N
> vlt abhängig von [mm]\delta[/mm] ? ;P
Du willst zeigen, dass [mm] $(z_k)_k$ [/mm] mit [mm] $z_k=f(x_k)$ [/mm] Cauchyfolge ist wenn [mm] $x_k \in [/mm] (0,1]$ und [mm] $x_k \to 0\,.$
[/mm]
Sei also [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ nun erstmal beliebig, aber fest.
1. Was ist zu zeigen? Es ist zu zeigen, dass es ein [mm] $N=N_\varepsilon$ [/mm] gibt mit
[mm] $$|z_n-z_m| [/mm] < [mm] \varepsilon$$
[/mm]
für alle $n,m [mm] \ge N\,.$
[/mm]
(Erinnerung dabei: [mm] $z_n=f(x_n)$ [/mm] und [mm] $z_m=f(x_m)\,.$)
[/mm]
2. Was wissen wir? [mm] $f\,$ [/mm] ist glm. stetig, das heißt: Es gibt sicher zu obigen [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta=\delta_\varepsilon [/mm] > 0$ (von "mehr" darf [mm] $\delta$ [/mm] nicht abhängen, nur von [mm] $\varepsilon$!) [/mm] derart, dass für alle $x,y [mm] \in [/mm] (0,1]$ mit $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] (ich sage im Folgenden dafür immer: $x,y$ liegen [mm] $\delta$-nahe [/mm] beieinander - auch, wenn die Sprechweise vielleicht nicht ganz das [mm] $<\,$ [/mm] widerspiegelt!) folgt
$$|f(x)-f(y)| < [mm] \varepsilon$$
[/mm]
(d.h.: Wenn nur $x,y [mm] \in [/mm] (0,1]$ [mm] $\delta$-nahe [/mm] beieinander liegen, dann liegen auch [mm] $f(x)\,$ [/mm] und [mm] $f(y)\,$ $\varepsilon$-nahe [/mm] beieinander!).
So: Ich argumentiere nun mit Worten, und Du versuchst mal, das formal aufzuschreiben:
Sei [mm] $(x_k)_k$ [/mm] eine Nullfolge in [mm] $(0,1]\,.$ [/mm] Als Nullfolge ist [mm] $(x_k)_k$ [/mm] natürlich auch Cauchyfolge (jede konvergente Folge ist Cauchyfolge!). Weiter gilt: Zu dem vorgegebenem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gibt es ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ bzgl. der glm. Stetigkeit. Nun der Trick:
Weil [mm] $(x_k)_k$ [/mm] Cauchyfolge ist, finden wir dann auch zu dem [mm] $\delta [/mm] > 0$ (das [mm] $\delta$ [/mm] aus der glm. Stetigkeit) einen Index [mm] $N\,,$ [/mm] so dass für je irgendzwei Folgenglieder, deren Index [mm] $\ge [/mm] N$ ist, gilt, dass diese Folgenglieder [mm] $\delta$-nahe [/mm] beieinander liegen. Nutze nun die glm. Stetigkeit, um einzusehen, dass deren Bilder dann auch [mm] $\varepsilon$-nahe [/mm] beieinander liegen!
P.S.:
Erinnerung: Meine Sprechweise [mm] "$a,b\,$ [/mm] liegen [mm] $\delta$-nahe [/mm] beieinander" bedeutet $|a-b| < [mm] \delta\,.$ [/mm] Die Sprechweise ist (vielleicht?) nicht ganz sauber, denn man würde sie sicher eher als [mm] $|a-b|=\delta$ [/mm] interpretieren wollen. (Jedenfalls der ein oder andere...)
Ich habe sie aber nur der Abkürzung wegen so benutzt, weil mir jede andere Umschreibung einfach zu lange ist ("der Abstand zwischen [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$ [/mm] ist immer echt kleiner [mm] $\delta$", [/mm] oder oder oder... man kann das ganz genau aufschreiben, ich bin hier halt nur sprachlich faul und "missbrauche" oben das [mm] "$\delta$-nahe").
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 So 12.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f: (0,1] [mm]\to \IR[/mm] gleichmäßig stetig. Dann existiert
> der Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow0^+}[/mm] f(x) . Beweis!
> huhu,
>
> hat jemand ne Idee hierzu? Ich denke, da muss das
> Folgenkriterium ran, bin mir aber nicht sicher.
da spricht auch nix dagegen. Das schöne übrigens an dieser Aussage:
Man kann also solch' ein [mm] $f\,$ [/mm] stetig (und damit gleichmäßig stetig) fortsetzen. Übrigens: Stetigkeit alleine hätte nicht ausgereicht (zum einen erkennt man das am Beweis, den Du sicher mit Gono gerade durchgehst: Man braucht die Vollständigkeit von [mm] $\IR$ [/mm] und die Aussage, dass Bilder von konvergenten Folgen des Definitionsbereichs wegen der glm. Stetigkeit Cauchyfolgen sind - das deutet darauf hin, dass man die glm. Stetigkeit nicht vernachlässigen darf - zum anderen aber kann man eine ganz einfache Funktion [mm] $f\,$ [/mm] angeben, die stetig auf $(0,1]$ ist, aber nicht stetig an [mm] $0\,$ [/mm] erweitert werden kann: [mm] $f(x)=1/x\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:24 Mo 13.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Zur Ergänzung:
Zwei Sachen sind zu zeigen:
1. Für jede Nullfolge [mm] (x_n) [/mm] in (0,1] existiert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n).
[/mm]
2. Sind [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (x_n') [/mm] Nullfolgen in (0,1] , so ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)= \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n').
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Mo 13.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Zur Ergänzung:
>
> Zwei Sachen sind zu zeigen:
>
> 1. Für jede Nullfolge [mm](x_n)[/mm] in (0,1] existiert
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n).[/mm]
>
> 2. Sind [mm](x_n)[/mm] und [mm](x_n')[/mm] Nullfolgen in (0,1] , so ist
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)= \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n').[/mm]
wozu braucht man denn 2.? Wenn für jede Nullfolge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in $(0,1]$ folgt, dass [mm] $(f(x_n))_n$ [/mm] konvergiert, dann impliziert das doch direkt die 2e Aussage. Andernfalls nehme ich eine Nullfolge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] wie oben und sage: [mm] $(f(x_n))_n$ [/mm] konvergiere etwa gegen [mm] $A\,.$ [/mm] Dann nehme ich analog eine Nullfolge [mm] $(x_n')_n$ [/mm] wie oben so, dass [mm] $(f(x_n'))_n$ [/mm] gegen [mm] $B\,$ [/mm] konvergiert. Wäre $A [mm] \not=B\,,$ [/mm] so nehme ich die Folge
[mm] $$(z_n)_n :\equiv (x_1,x_1',x_2,x_2',x_3,x_3',\ldots)$$
[/mm]
Dann folgt [mm] $z_n \to [/mm] 0$ und [mm] $(f(z_n))_n$ [/mm] divergiert [mm] ($(f(z_n))_n$ [/mm] hat genau die zwei Häufungspunkte $A [mm] \not=B$). [/mm] Habe ich 'nen Denkfehler?
P.S.:
Natürlich ist dann (1. und 2.) gleichwertig zu 1.. Also Unrecht hast Du natürlich nicht...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:31 Di 14.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Zur Ergänzung:
> >
> > Zwei Sachen sind zu zeigen:
> >
> > 1. Für jede Nullfolge [mm](x_n)[/mm] in (0,1] existiert
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n).[/mm]
> >
> > 2. Sind [mm](x_n)[/mm] und [mm](x_n')[/mm] Nullfolgen in (0,1] , so ist
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)= \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n').[/mm]
>
> wozu braucht man denn 2.? Wenn für jede Nullfolge [mm](x_n)_n[/mm]
> in [mm](0,1][/mm] folgt, dass [mm](f(x_n))_n[/mm] konvergiert, dann
> impliziert das doch direkt die 2e Aussage.
Ja, genau. Aber zeigen sollte man es. Das habe ich gemeint.
Zeigen, und zwar so, wie Du es unten machst, mit "Mischfolgen"
FRED
> Andernfalls
> nehme ich eine Nullfolge [mm](x_n)_n[/mm] wie oben und sage:
> [mm](f(x_n))_n[/mm] konvergiere etwa gegen [mm]A\,.[/mm] Dann nehme ich
> analog eine Nullfolge [mm](x_n')_n[/mm] wie oben so, dass
> [mm](f(x_n'))_n[/mm] gegen [mm]B\,[/mm] konvergiert. Wäre [mm]A \not=B\,,[/mm] so
> nehme ich die Folge
> [mm](z_n)_n :\equiv (x_1,x_1',x_2,x_2',x_3,x_3',\ldots)[/mm]
>
> Dann folgt [mm]z_n \to 0[/mm] und [mm](f(z_n))_n[/mm] divergiert ([mm](f(z_n))_n[/mm]
> hat genau die zwei Häufungspunkte [mm]A \not=B[/mm]). Habe ich 'nen
> Denkfehler?
>
> P.S.:
> Natürlich ist dann (1. und 2.) gleichwertig zu 1.. Also
> Unrecht hast Du natürlich nicht...
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Di 14.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi Fred,
> > Hallo Fred,
> >
> > > Zur Ergänzung:
> > >
> > > Zwei Sachen sind zu zeigen:
> > >
> > > 1. Für jede Nullfolge [mm](x_n)[/mm] in (0,1] existiert
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n).[/mm]
> > >
> > > 2. Sind [mm](x_n)[/mm] und [mm](x_n')[/mm] Nullfolgen in (0,1] , so ist
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)= \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n').[/mm]
>
> >
> > wozu braucht man denn 2.? Wenn für jede Nullfolge [mm](x_n)_n[/mm]
> > in [mm](0,1][/mm] folgt, dass [mm](f(x_n))_n[/mm] konvergiert, dann
> > impliziert das doch direkt die 2e Aussage.
>
>
> Ja, genau. Aber zeigen sollte man es. Das habe ich
> gemeint.
>
>
>
> Zeigen, und zwar so, wie Du es unten machst, mit
> "Mischfolgen"
ohje, dann habe ich den pädagogischen Zweck Deiner Antwort zerstört. Aber wenigstens dann nochmal ein Hinweis (an Evelyn):
Diese "Mischfolgenargumentation" ist durchaus eine "Standardüberlegung der Analysis" (daher habe ich Freds Hinweis auch nicht verstanden, weil ich sowas irgendwie mittlerweile automatisch überlege). (Sie tauchte in meinem Studium zum ersten Mal auf, als wir gezeigt hatten, dass die [mm] $\epsilon-\delta-x_0$-Definition [/mm] von [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)$ [/mm] äquivalent zu einer "Für alle Folgen mit der Eigenschaft..."-Definition ist.)
Zum Nachlesen:
Ich find's auf die Schnelle gerade nicht, aber an irgendeiner Stelle steht's definitiv auch im Heuser (ich weiß nur nicht mehr, in welchem Zusammenhang genau). Wenn ich die Stelle wieder gefunden habe, sag' ich Dir, wo genau!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:23 Mi 15.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zum Nachlesen:
> Ich find's auf die Schnelle gerade nicht, aber an
> irgendeiner Stelle steht's definitiv auch im Heuser (ich
> weiß nur nicht mehr, in welchem Zusammenhang genau). Wenn
> ich die Stelle wieder gefunden habe, sag' ich Dir, wo
> genau!
>
> Gruß,
> Marcel
"Abstrakt" geht das so:
"Lemma": Sind [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] zwei Folgen in [mm] \IR [/mm] mit der Eigenschaft, dass die "Mischfolge"
[mm] (c_n):= (a_1,b_1,a_2,b_2,...)
[/mm]
konvergent ist, so sind [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] konvergent und es ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n= \limes_{n\rightarrow\infty}b_n.
[/mm]
Beweis: Sei c der Limes von [mm] (c_n). [/mm] Die Folgen [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] sind Teilfolgen von [mm] (c_n). [/mm] Damit sind [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] konvergent und beide konvergieren gegen c.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:23 Mi 15.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi Fred,
> "Abstrakt" geht das so:
>
> "Lemma": Sind [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] zwei Folgen in [mm]\IR[/mm] mit der
> Eigenschaft, dass die "Mischfolge"
>
> [mm](c_n):= (a_1,b_1,a_2,b_2,...)[/mm]
>
> konvergent ist, so sind [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] konvergent und es
> ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n= \limes_{n\rightarrow\infty}b_n.[/mm]
>
> Beweis: Sei c der Limes von [mm](c_n).[/mm] Die Folgen [mm](a_n)[/mm] und
> [mm](b_n)[/mm] sind Teilfolgen von [mm](c_n).[/mm] Damit sind [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm]
> konvergent und beide konvergieren gegen c.
>
> FRED
na klar - ich suche wirklich nur die Stelle, wo Heuser das stehen hat. Im Prinzip kann man den Beweis, je nach Vorwissen, auch (etwas) allgemeiner hinschreiben (man kann das ganze ja auch in gewissen topologischen Räumen formulieren etc., das mache ich nun nicht):
In einem metrischen Raum konvergiert eine Folge genau dann, wenn jede ihrer Teilfolgen konvergiert - und im Falle, dass die Folge konvergiert bzw. dass jede ihrer Teilfolgen konvergiert, konvergiert auch jede Teilfolge gegen den gleichen Wert, den Grenzwert der Folge.
Ein möglicher (elementarer) Beweis:
Sei $(X,d)$ der betrachtete metrische Raum.
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Falls [mm] $(x_n)_n \in X^{\IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] x [mm] \in X\,,$ [/mm] dann ist klar, dass für jede Teilfolge [mm] $(x_{n_k})_k$ [/mm] auch [mm] $x_{n_k} \to [/mm] x$ folgt - denn die Abbildung [mm] $\IN \ni [/mm] k [mm] \mapsto n_k \in \IN$ [/mm] ist streng wachsend.
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
Falls nun [mm] $(x_n)_n$ [/mm] nicht konvergent ist, so ist, weil [mm] $(x_n)_n$ [/mm] selbst Teilfolge von [mm] $(x_n)_n$ [/mm] ist, auch nicht jede Teilfolge konvergent.
Wir zeigen noch die Zusatzbehauptung, also, dass, wenn [mm] $(x_n)_n$ [/mm] nicht konvergent ist, dann auch nicht alle Teilfolgen gegen den gleichen Grenzwert streben können:
Sei also [mm] $(x_n)_n$ [/mm] divergent. Falls [mm] $(x_n)_n$ [/mm] keinen Häufungspunkt hat, so gibt es auch keine Teilfolge von [mm] $(x_n)_n\,,$ [/mm] die konvergieren kann und wir sind fertig. Falls nun auch nur eine Teilfolge divergiert, so sind wir auch fertig. Gelte nun also [mm] $x_{n_k} \to [/mm] a$ und [mm] $x_{n'_k} \to [/mm] b$ für Teilfolgen [mm] $(x_{n_k})_k$ [/mm] und [mm] $(x_{n'_k})_k$ [/mm] von [mm] $(x_n)_n\,,$ [/mm] wobei $a [mm] \not=b$ [/mm] zwei Häufungspunkte von [mm] $(x_n)_n$ [/mm] seien. Dann kann man eine monoton wachsende Folge [mm] $(N_k)_k$ [/mm] aus [mm] $(n_k)_k$ [/mm] und [mm] $(n'_k)_k$ [/mm] "zusammenmischen", die sowohl unendlich viele Glieder aus [mm] $(n_k)_k$ [/mm] als auch unendlich viele aus [mm] $(n'_k)_k$ [/mm] enthält. Die Teilfolge [mm] $(x_{N_k})_k$ [/mm] von [mm] $(x_n)_n$ [/mm] hat dann aber selbst echt mehr als einen Häufungspunkt, divergiert also. Damit sind wir fertig!
Edit: Die Zusatzbehauptung folgt natürlich auch direkt daraus, dass [mm] $(x_n)_n$ [/mm] Teilfolge von sich selbst ist.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:05 Do 16.02.2012 | | Autor: | Marcel |
P.S.
Die "Mischfolgenargumentation" findet man bei Heuser, Analysis I, etwa im Beweis des Satzes 44.7 - da geht es um Netzkonvergenz, konfinale Folgen etc..
Ich dachte eigentlich, dass sowas auch schon vorher mal aufgetaucht sei...
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