Existenz Ringmonomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 So 03.07.2011 | | Autor: | Sindacco |
Hallo,
ich habe zwei kommutative Ringe R, S mit 1 und einen Ringhomomorphismus f:R->S, sowie ein Ideal I in S.
Ich möchte nun zeigen, dass ein Monomorphismus zwischen [mm] R/f^{-1}(I) [/mm] und S/I existiert.
Unser Übungsleiter hat uns den Tipp gegeben, wir sollten den Homomorphiesatz verwenden. Leider weiß ich nicht genau wie.
Mir fehlt da auch jeglicher Ansatz, wäre nett, wenn mir mal jemand einen Tipp geben könnte.
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 So 03.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich habe zwei kommutative Ringe R, S mit 1 und einen
> Ringhomomorphismus f:R->S, sowie ein Ideal I in S.
>
> Ich möchte nun zeigen, dass ein Monomorphismus zwischen
> [mm]R/f^{-1}(I)[/mm] und S/I existiert.
>
> Unser Übungsleiter hat uns den Tipp gegeben, wir sollten
> den Homomorphiesatz verwenden. Leider weiß ich nicht genau
> wie.
Wende den Homomorphismus auf [mm] $\pi \circ [/mm] f$ an, wobei [mm] $\pi [/mm] : S [mm] \to [/mm] S/I$ die kanonische Projektion ist.
Was ist der Kern der Verkettung?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 So 03.07.2011 | | Autor: | Sindacco |
Mal angenommen g sei der gesuchte Monnmorphismus. Dann soll ich g auf [mm] \pi \circ [/mm] f anwenden. Dann bekomm ich doch
g [mm] \circ \pi \circ [/mm] f ?
Aber dann wirft mich [mm] \pi [/mm] in S/I, für g brauch ich aber ein Ideal aus [mm] R/f^{-1}(I)?
[/mm]
Oder hab ich das falsch verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 So 03.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Mal angenommen g sei der gesuchte Monnmorphismus. Dann soll
> ich g auf [mm]\pi \circ[/mm] f anwenden. Dann bekomm ich doch
Was meinst du mit "darauf anwenden"? [mm] $\pi \circ [/mm] f$ ist ein Homomorphismus $R [mm] \to [/mm] S/I$, waehrend $g$ ein Homomorphismus [mm] $R/f^{-1}(I) \to [/mm] S/I$ ist.
> g [mm]\circ \pi \circ[/mm] f ?
Das macht keinen Sinn. [mm] $\pi \circ [/mm] f$ geht nicht nach [mm] $R/f^{-1}(I)$, [/mm] sondern nach $S/I$.
> Aber dann wirft mich [mm]\pi[/mm] in S/I, für g brauch ich aber ein
> Ideal aus [mm]R/f^{-1}(I)?[/mm]
>
> Oder hab ich das falsch verstanden?
Offenbar ja.
Was besagt denn der Homomorphiesatz?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 So 03.07.2011 | | Autor: | Sindacco |
Achso, ich glaub jetzt hab ich's.
Du meintest wohl nicht "Homomorphismus anwenden" sondern "Homomorphiesatz anwenden".
Dann ist [mm] ker(\pi \circ [/mm] f) = {a [mm] \in [/mm] R : f(a) [mm] \in [/mm] I} = [mm] f^{-1}(I).
[/mm]
Mit Homom'satz folgt
[mm] R/f^{-1}(I) \cong (\pi \circ [/mm] f)(R) = [mm] \pi(f(R)).
[/mm]
Da f(R) [mm] \subset [/mm] S folgt [mm] \pi(f(R)) \subset [/mm] S/I.
Daraus ergibt sich, dass die Abbildung
[mm] x:R/f^{-1}(I) \to [/mm] S/I
ein Monomorphismus ist [mm] (ker(x)=f^{-1}(I) [/mm] ??).
Richtig?
Das heißt doch insbesondere, dass [mm] R/f^{-1}(I) [/mm] einem Unterring von S/I entspricht, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 So 03.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin
> Du meintest wohl nicht "Homomorphismus anwenden" sondern
> "Homomorphiesatz anwenden".
Oh. Ja, genau das wollte ich schreiben...
> Dann ist [mm]ker(\pi \circ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f) = {a [mm]\in[/mm] R : f(a) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
I} =
> [mm]f^{-1}(I).[/mm]
> Mit Homom'satz folgt
>
> [mm]R/f^{-1}(I) \cong (\pi \circ[/mm] f)(R) = [mm]\pi(f(R)).[/mm]
>
> Da f(R) [mm]\subset[/mm] S folgt [mm]\pi(f(R)) \subset[/mm] S/I.
>
> Daraus ergibt sich, dass die Abbildung
>
> [mm]x:R/f^{-1}(I) \to[/mm] S/I
>
> ein Monomorphismus ist [mm](ker(x)=f^{-1}(I)[/mm] ??).
>
> Richtig?
Ja.
> Das heißt doch insbesondere, dass [mm]R/f^{-1}(I)[/mm] einem
> Unterring von S/I entspricht, oder?
Genau!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 So 03.07.2011 | | Autor: | Sindacco |
Das is ja cool :)
Auch hier nochmals danke für deine Hilfe!
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