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Existenz aufzeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Di 29.03.2011
Autor: kushkush

Aufgabe
&0Sei $A$ in [mm] $M_{K}(2)$ [/mm] mit $A [mm] \ne [/mm] 0$, [mm] $A\ne E_{2}$ [/mm] und [mm] $A^{2}=A$. [/mm] Zeigen Sie, dass es $Q$ in [mm] $GL_{K}(2)$ [/mm] gibt, mit [mm] $A=Q\vektor{1&0\\0&0 } Q^{-1}$. [/mm]

Hallo,

eine Bedingung für A ist [mm] $A^{2}=\vektor{a&b\\c & d}^{2} [/mm] = [mm] \vektor{a&b\\ c& d}=A$ [/mm]

Q hat die Form: [mm] $\vektor{w&0\\0&t}$ [/mm] und [mm] $Q^{-1}:\vektor{\frac{1}{w}&0\\ 0& \frac{1}{t}}$ [/mm]

[mm] $A=\vektor{w&0\\0&t} \vektor{1&0\\0&0} \vektor{\frac{1}{w}&0\\ 0& \frac{1}{t}}=\vektor{1&0\\0&0}$ [/mm]


Aber damit habe ich ja nur gezeigt dass es A gibt und nichts zu Q bewiesen...?



Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Danke und Gruss

kushkush

        
Bezug
Existenz aufzeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:48 Di 29.03.2011
Autor: fred97


> &0Sei [mm]A[/mm] in [mm]M_{K}(2)[/mm] mit [mm]A \ne 0[/mm], [mm]A\ne E_{2}[/mm] und [mm]A^{2}=A[/mm].
> Zeigen Sie, dass es [mm]Q[/mm] in [mm]GL_{K}(2)[/mm] gibt, mit
> [mm]A=Q\vektor{1&0\\0&0 } Q^{-1}[/mm].
>  Hallo,
>  
> eine Bedingung für A ist [mm]A^{2}=\vektor{a&b\\c & d}^{2} = \vektor{a&b\\ c& d}=A[/mm]
>
> Q hat die Form: [mm]\vektor{w&0\\0&t}[/mm]


Wieso das denn ???

> und
> [mm]Q^{-1}:\vektor{\frac{1}{w}&0\\ 0& \frac{1}{t}}[/mm]
>  
> [mm]A=\vektor{w&0\\0&t} \vektor{1&0\\0&0} \vektor{\frac{1}{w}&0\\ 0& \frac{1}{t}}=\vektor{1&0\\0&0}[/mm]

Das ist doch Quatsch !

>  
>
> Aber damit habe ich ja nur gezeigt dass es A gibt

Hä ?

>  und
> nichts zu Q bewiesen...?

So ist es.

Tipp: aus  $ A [mm] \ne [/mm] 0 $, $ [mm] A\ne E_{2} [/mm] $ und $ [mm] A^{2}=A [/mm] $  folgt:

         [mm] \lambda [/mm] ist Eigenwert von A  [mm] \gdw \lambda=1 [/mm] oder [mm] \lambda=0. [/mm]

Zeige dies !

Damit ist A diagonalisierbar (warum ?)

FRED

>  
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>  
> Danke und Gruss
>  
> kushkush


Bezug
                
Bezug
Existenz aufzeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Di 29.03.2011
Autor: kushkush

Hallo

Charakteristisches Polynom: [mm] $det(A-\lambdaE)(1-\lambda)(\lambda)= \lambda [/mm] - [mm] \lambda^{2}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \lambda(1-\lambda)=0 \gdw \lambda_{1}=0; \lambda_{2}=1$ [/mm]


Dann ist A diagonalisierbar wenn die Elemente der Eigenräume: [mm] $\vektor{1\\0}, \vektor{0\\1}$ [/mm] sind linear unabhängig und es lässt sich daraus A bilden also ist A diagonalisierbar.



Also diagonalisierbar und damit existiert auch Q.

?



> FRED

Danke

Gruss

kushkush

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Bezug
Existenz aufzeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Di 29.03.2011
Autor: fred97


> Hallo
>  
> Charakteristisches Polynom:
> [mm]det(A-\lambdaE)(1-\lambda)(\lambda)= \lambda - \lambda^{2}[/mm]

Wie kommst Du zu diesem Polynom ??

>  
> [mm]\Rightarrow \lambda(1-\lambda)=0 \gdw \lambda_{1}=0; \lambda_{2}=1[/mm]
>  
>
> Dann ist A diagonalisierbar wenn die Elemente der
> Eigenräume: [mm]\vektor{1\\0}, \vektor{0\\1}[/mm]

Wieso sind das Eigenvektoren von A. Woher weißt Du das ???

> sind linear
> unabhängig und es lässt sich daraus A bilden


Was soll das bedeuten.


also ist A

> diagonalisierbar.
>
>
>
> Also diagonalisierbar und damit existiert auch Q.


!.

>

Jetzt mach mal folgendes:

1. Mach Dich schlau, was "diagonalisierbar" bedeutet

2. Schau mal nach: Ihr hattet sicher Sätze der Art:  A ist genau dann diagonalisierbar, wenn ....

Schau Dir die mal an.

FRED

> ?
>  
>
>
> > FRED
>  
> Danke
>  
> Gruss
>  
> kushkush


Bezug
                                
Bezug
Existenz aufzeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:25 Di 29.03.2011
Autor: kushkush

Hallo,

Ich habe die mittlere Matrix [mm] $\vektor{1&0\\0&0}$ [/mm] genommen und hiervon das charakteristische POlynom und die Eigenvektoren berechnet.


A ist genau dann diagonalisierbar wenn eine Basis aus Eigenvektoren existiert. ?



>FRED

Danke


Gruss
kushkush

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Bezug
Existenz aufzeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:30 Di 29.03.2011
Autor: MathePower

Hallo kushkush,

> Hallo,
>  
> Ich habe die mittlere Matrix [mm]\vektor{1&0\\0&0}[/mm] genommen und
> hiervon das charakteristische POlynom und die Eigenvektoren
> berechnet.
>  
>
> A ist genau dann diagonalisierbar wenn eine Basis aus
> Eigenvektoren existiert. ?
>  


Ja.


>
>
> >FRED
>  
> Danke
>  
>
> Gruss
>  kushkush


Gruss
MathePower

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Existenz aufzeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:32 Di 29.03.2011
Autor: kushkush

Hallo Mathepower,



Stimmt der Lösungsweg?




> Gruss

Danke

Gruss
kushkush

Bezug
                                                        
Bezug
Existenz aufzeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:36 Di 29.03.2011
Autor: MathePower

Hallo kushkush,

> Hallo Mathepower,
>  
>
>
> Stimmt der Lösungsweg?
>


Bis jetzt hast Du nicht gezeigt,
daß [mm]\lambda_{1}=0[/mm] und [mm]\lambda_{2}=1[/mm] Eigenwerte von A sind.


>
>
>
> > Gruss
>  
> Danke
>  
> Gruss
>  kushkush


Gruss
MathePower

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Existenz aufzeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:49 Di 29.03.2011
Autor: kushkush

Hallo Mathepower,


Aus der Bedingung [mm] $A\ne E_{2}$ [/mm] folgt [mm] \lambda=1 [/mm] , aus der Bedingung [mm] $A\ne [/mm] 0$ folgt [mm] $\lambda [/mm] = 0$ ?

> Gruss

Danke

Gruss
kushkush

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Existenz aufzeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:05 Di 29.03.2011
Autor: MathePower

Hallo kushkush,

> Hallo Mathepower,
>  
>
> Aus der Bedingung [mm]A\ne E_{2}[/mm] folgt [mm]\lambda=1[/mm] , aus der
> Bedingung [mm]A\ne 0[/mm] folgt [mm]\lambda = 0[/mm] ?


Das ist nicht richtig.

Betrachte die Gleichung [mm]A^{2}=A[/mm]


>  
> > Gruss
>  
> Danke
>  
> Gruss
>  kushkush


Gruss
MathePower

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Bezug
Existenz aufzeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:21 Mi 30.03.2011
Autor: fred97


> Hallo Mathepower,
>  
>
> Aus der Bedingung [mm]A\ne E_{2}[/mm] folgt [mm]\lambda=1[/mm] , aus der
> Bedingung [mm]A\ne 0[/mm] folgt [mm]\lambda = 0[/mm] ?

Das ist wieder die kushkush-im-Nebel-stochern-und- auf-Zufallsstreffer-hoffen-Mathematik ! So wird das auf Dauer aber nichts.

Sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A, also ex. ein x [mm] \in \IR^2 [/mm] mit x [mm] \ne [/mm] 0 und Ax= [mm] \lambda [/mm] x.

Dann folgt:

       [mm] $\lambda [/mm] x= Ax = A^2x= [mm] A(Ax)=A(\lambda [/mm] x)= [mm] \lambda [/mm] Ax= [mm] \lambda^2 [/mm] x.$

Jetzt Du.

FRED

>  
> > Gruss
>  
> Danke
>  
> Gruss
>  kushkush


Bezug
                                                                                
Bezug
Existenz aufzeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:11 Mi 30.03.2011
Autor: kushkush

Hallo

> dann folgt

[mm] $\lambda [/mm] x= [mm] \lambda^{2} [/mm] x$ [mm] $\Rightarrow \lambda=1$ [/mm]

[mm] $\lambda [/mm] x= [mm] \lambda [/mm] A x$ [mm] $\Rightarrow \lambda=0$ [/mm]



> FRED

Danke


Gruss
kushkush

Bezug
                                                                                        
Bezug
Existenz aufzeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:33 Mi 30.03.2011
Autor: MathePower

Hallo kushkush,

> Hallo
>  
> > dann folgt
>  
> [mm]\lambda x= \lambda^{2} x[/mm] [mm]\Rightarrow \lambda=1[/mm]
>  
> [mm]\lambda x= \lambda A x[/mm] [mm]\Rightarrow \lambda=0[/mm]
>  


Aus der Gleichung

[mm]\lambda x= \lambda^{2} x[/mm]

folgt doch schon [mm]\lambda=0[/mm] oder [mm]\lambda=1[/mm]


>
>
> > FRED
>  
> Danke
>  
>
> Gruss
>  kushkush


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                
Bezug
Existenz aufzeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:56 Mi 30.03.2011
Autor: kushkush

Hallo Mathepower,


Danke



Gruss
kushkush

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