Existenz bestimmter Integral, Abschätzung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 So 27.06.2004 | | Autor: | Mephi |
Hi,
kann mir mal bitte jemand mit folgender Aufgabe helfen?
Leider eielt die Sache auch noch weil ich die vergessen hab und morgen abgeben muss *schäm*
Begründen Sie für die Funktion f: [mm] [0,1]\to\IR, x\to \bruch{x^2}{16+sin(x)} [/mm] die Existenz von
[mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f(x) dx}
Zeigen Sie die Abschätzung [mm] \bruch{1}{51} \le\integral_{0}^{1} {f(x)dx}\le\bruch{1}{48}
[/mm]
Vielen Dank schonmal
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 So 27.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Mephi!
> Begründen Sie für die Funktion f: [mm][0,1]\to\IR, x\to \bruch{x^2}{16+sin(x)}[/mm]
> die Existenz von
> [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] {f(x) dx}
Wegen $-1 [mm] \le \sin(x) \le [/mm] 1$ ist der Integrand in jedem Fall stetig (der Nenner hat keine Nullstellen). Da über ein kompaktes Intervall integriert wird, existiert das Integral.
> Zeigen Sie die Abschätzung [mm]\bruch{1}{51} \le\integral_{0}^{1} {f(x)dx}\le\bruch{1}{48}
[/mm]
Für $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ gilt wegen $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \frac{\pi}{2}$:
[/mm]
$0 [mm] \le \sin(x) \le [/mm] 1$.
Daraus folgt für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$:
$ [mm] \frac{x^2}{17} \le \frac{x^2}{16 + \sin(x)} \le \frac{x^2}{16}$.
[/mm]
Aus der Monotonie des Integrals folgt:
[mm] $\int\limits_0^1 \frac{x^2}{17}\, [/mm] dx [mm] \le \int\limits_0^1 \frac{x^2}{16 + \sin(x)}\, [/mm] dx [mm] \le \int\limits_0^1 \frac{x^2}{16}\, [/mm] dx$.
Rechnet man das linke und das rechte Integral (elementar) aus, so folgt die Behauptung.
Melde dich einfach wieder bei weiteren Fragen. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 So 27.06.2004 | | Autor: | Mephi |
Hi Stefan
Danke erstmal =)
>Wegen ist der Integrand in jedem Fall stetig (der Nenner hat keine >Nullstellen). Da über ein kompaktes Intervall integriert wird, existiert das >Integral.
Naja gedacht hab Ich mir das auch, aber is das nicht zu trivial?
Weil es steht ja extra als Teilaufgabe da.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 So 27.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Mephi!
> Hi Stefan
>
> Danke erstmal =)
Kein Thema.
> >Wegen ist der Integrand in jedem Fall stetig (der Nenner
> hat keine >Nullstellen). Da über ein kompaktes Intervall
> integriert wird, existiert das >Integral.
>
> Naja gedacht hab Ich mir das auch, aber is das nicht zu
> trivial?
Naja, da die ganze Aufgabe extrem trivial ist, zweifle ich auch nicht daran, dass dies so gemeint war. Wenn ihr den Satz so nicht hattet, dass das Integral einer stetigen Funktion über ein kompaktes Intervall existiert, dann täte es mir leid, denn dann gilt meine Begründung so (für euch (!))natürlich nicht. Wenn ihr den Satz so hattet, dann kann man das auch so begründen.
Liebe Grüße
Stefan
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