Existenz bijektiver Abbildung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Wenn zwei injektive Abbildungen f: X [mm] \to [/mm] Y und g: Y [mm] \to [/mm] X existieren, dann folgt, dass eine bijektive Abbildung zwischen X und Y existiert. |
Ich hatte folgende Überlegungen:
Zwar hatten wir in der Vorlesung den Sachverhalt nicht definiert, aber ich gehe davon aus, dass bei einer injektiven Funktion der Bildbereich größer sein muss, als der Definitionsbereich, da wir sonst nicht ausreichend genügend Bildpunkte hätten, auf denen wir die x aus dem Definitionsbereich abbilden könnten, sodass die Injektivität erhalten bleibt.
Daher hatte ich mir folgende Argumentation überlegt:
f ist injektiv, also muss Y von der Mächtigkeit größer sein als X. Da wiederum g ebenfalls injektiv von Y [mm] \to [/mm] X ist, folgt daraus, dass X mächtiger sein muss als Y.
Insgesamt habe ich daraus dann geschlossen, dass beide Mengen gleichmächtig sein müssen.
Die Surjektivität einer Abbildung zwischen den beiden Mengen folgere ich dann daraus, dass f weiterhin injektiv sein muss, da aber die beiden Mengen gleichmächtig sind, muss daraus folgen, dass die Abbildung bijektiv sein muss, da für jedes x [mm] \in [/mm] X ein f(x) definiert sein muss und damit dann jedes f(x) [mm] \in [/mm] Y getroffen wird.
edit//
Ich sollte natürlich noch eine Frage stellen:
Kann man mit der Argumentation so arbeiten oder ist die totaler Humbug? Wenn das so nicht geht, könnt ihr mir vielleicht einen Tipp geben, in welche Richtung ich da denken muss ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:52 Di 04.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wenn zwei injektive Abbildungen f: X [mm]\to[/mm] Y und g: Y [mm]\to[/mm] X
> existieren, dann folgt, dass eine bijektive Abbildung
> zwischen X und Y existiert.
>
> Ich hatte folgende Überlegungen:
>
> Zwar hatten wir in der Vorlesung den Sachverhalt nicht
> definiert, aber ich gehe davon aus, dass bei einer
> injektiven Funktion der Bildbereich größer sein muss, als
> der Definitionsbereich, da wir sonst nicht ausreichend
> genügend Bildpunkte hätten, auf denen wir die x aus dem
> Definitionsbereich abbilden könnten, sodass die
> Injektivität erhalten bleibt.
>
> Daher hatte ich mir folgende Argumentation überlegt:
>
> f ist injektiv, also muss Y von der Mächtigkeit größer
> sein als X. Da wiederum g ebenfalls injektiv von Y [mm]\to[/mm] X
> ist, folgt daraus, dass X mächtiger sein muss als Y.
> Insgesamt habe ich daraus dann geschlossen, dass beide
> Mengen gleichmächtig sein müssen.
>
> Die Surjektivität einer Abbildung zwischen den beiden
> Mengen folgere ich dann daraus, dass f weiterhin injektiv
> sein muss, da aber die beiden Mengen gleichmächtig sind,
> muss daraus folgen, dass die Abbildung bijektiv sein muss,
> da für jedes x [mm]\in[/mm] X ein f(x) definiert sein muss und
> damit dann jedes f(x) [mm]\in[/mm] Y getroffen wird.
>
> edit//
>
> Ich sollte natürlich noch eine Frage stellen:
> Kann man mit der Argumentation so arbeiten oder ist die
> totaler Humbug? Wenn das so nicht geht, könnt ihr mir
> vielleicht einen Tipp geben, in welche Richtung ich da
> denken muss ?
Deine Gedanken sind gar nicht so verkehrt, aber es ist nicht klar, dass man
sie auf nicht endliche Mengen so übertragen kann.
Nachdem ich mir vorhin einen abgebrochen habe, beim Versuch, da einen
einfachen Beweis zu basteln, und nicht wirklich zu einem Ergebnis gekommen
bin:
Das Ding da trägt einen Namen, wie ich eben feststellte (und mich dann
auch dran erinnert habe):
![[]](/images/popup.gif) Schröder-Bernstein
Also ich das hier:
> Ein kurzer und leicht verständlicher Beweis findet sich auch in dem
> Göschen-Bändchen Mengenlehre Erich Kamkes.[16]
in dem Link gelesen habe, dachte ich nur: "Da muss ich mal reingucken".
Oder vielleicht hat das hier ja jemand und kann den Beweis aus dem
Göschen-Bändchen abtippen?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo,
Ein Beweis ist gar nicht so schwer, aber schwieriger als man auf den ersten Blick denken könnte, und schwieriger als Cantor gedacht hat, der den Satz bis zu seinem Lebensende beweisen wollte, aber es nicht geschafft hat.
Ich zeige ein Lemma, auf das man den Satz zurückführen kann: Seien $ A, B $ disjunkte Mengen und sei $ [mm] f\colon A\cup B\longrightarrow [/mm] B $ eine Injektion. Dann existiert auch eine Bijektion zwischen $ [mm] A\cup [/mm] B$ und $ B $.
Rekursiv setzen wir [mm] $f^0 [/mm] (A)=A $ und $ [mm] f^{n+1}(A)=f (f^n [/mm] (A)) $. Ferner setzen wir $ [mm] f^\infty [/mm] (A) [mm] =\bigcup_nf^n [/mm] (A) $.
Nun konstruieren wir eine neue Abbildung $ [mm] f'\colon A\cup B\longrightarrow [/mm] B $ mit $ f '(x)=f (x) $, falls $ [mm] x\in f^\infty [/mm] (A) $ und $ f'(x)=x $ sonst. Diese Abbildung ist offenbar eine Bijektion.
Wenn wir nun zwei injektive Abbildungen $ [mm] f\colon X\longrightarrow [/mm] Y $ und $ [mm] g\colon Y\longrightarrow [/mm] X $ haben, so nutzen wir, dass $ [mm] g\circ f\colon [/mm] X= g [mm] (Y)\cup X\setminus [/mm] g [mm] (Y)\longrightarrow [/mm] g (Y) $ injektiv ist. Es folgt, dass $ X$ gleichmächtig zu $ g (Y) $ und daher auch zu $ Y $ ist.
Ob der Beweis von Marcels Antwort genauso funktioniert, weiß ich nicht. Übrigens gilt der Satz in anderen Settings nicht, z.B. gibt es injektive Gruppenhomomorphismen aus der freien Gruppe über zwei Erzeugern in die freie Gruppe mit abzählbar vielen Erzeugern und überraschenderweise auch umgekehrt, aber es gibt keinen bijektiven Homomorphismus. Kategorien, in denen der Satz gilt, heißen auch Cantor-Schröder-Bernstein-Kategorien und dass die Kategorie der Mengen eine solche ist, haben wir gerade gezeigt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
|
