Existenz diffbarer Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Mi 12.07.2006 | | Autor: | ttgirltt |
| Aufgabe | Es sei v: [mm] \IR \to \IR [/mm] und es gelte [mm] v(x)>x^{2}. [/mm] Man zeige dass es keine auf ganz [mm] \IR [/mm] erklärte differenzierbare Funktion gibt die der Beziehung x'(t)=v(x(t)) genügt.
Hinweis betrachte y(t):= [mm] \bruch{-1}{x(t)} [/mm] |
Hallo also ich muss ja 3 Fälle unterscheiden
[mm] x(t_{0})>0
[/mm]
[mm] x(t_{0})<0
[/mm]
[mm] x(t_{0})=0
[/mm]
Aber wie genau ich y damit in Beziehung bringe weiß ich nicht.
Ich hab ja y(t):= [mm] \bruch{-1}{x(t)} \Rightarrow [/mm] x(t):= [mm] \bruch{-1}{y(t)}
[/mm]
aber wie bringe ich das mit den [mm] v(x)>x^{2} [/mm] x'(t)=v(x(t)) in Verbindung kann mir wer helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Mi 12.07.2006 | | Autor: | PeterB |
Hallo ttgirl,
ich fürchte das ist eine Trickaufgabe, angenommen es gibt eine solche Funktion x, dann folgt:
[mm] $x'(t)=v(x)>x^2\ge [/mm] 0$
also ist x streng monoton wachsend, insbesondere hat x höchstens eine Nullstelle.
aber auch, da wo y definiert ist (d.h. außerhalb der Nullstellen von x), gilt:
[mm] $y'(t)=\frac [/mm] {x'} [mm] {x^2}=\frac {v(x)}{x^2} [/mm] >1$
Daher ist dort auch y monoton wachsend, mit Ableitung größer 1, also hätte y eine Nullstelle, falls y auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert wäre, also hat x eine Nullstelle [mm] $t_0$. [/mm] Dann gilt aber für [mm] $t>t_0$ [/mm] dass $x(t)>0$ nach Definition von y also $y(t)<0$. Aber die Ableitung von $y$ ist größer 1, also gibt es $s>t$ so, dass $y(s)>0$. Widerspruch.
Eine allgemeinere Strategie kann ich hier aber nicht sehen.
Grüße
Peter
p.s.:Hier kann man sich nicht verrechen, juchhu!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mi 12.07.2006 | | Autor: | ttgirltt |
Ah danke...
Muss ich aber nicht auch den Fall [mm] x(t_{0})<0 [/mm] und somit [mm] y(t_{0})>0 [/mm] betrachten(läuft auf den selben Widerspruch hinaus) und was ist mit dem Fall das beide gleich 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Mi 12.07.2006 | | Autor: | PeterB |
Hi,
[mm] $x(t_0)$ [/mm] ist nach meiner Definition immer 0. Und wenn ich das richtig verstehe ist nach der Existenz einer Funtion auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] gefragt. Ich habe ja schon vorher gezeigt, dass diese dann streng monoton wachsend ist, und genau eine Nullstelle hat, daher ist für [mm] $t>t_0$ [/mm] immer $x(t)>0$. Das sollte reichen.
Grüße
Peter
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