Existenz einer Funktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 So 01.09.2013 | | Autor: | MrPan |
| Aufgabe | Zeigen Sie dass genau eine stetige Funktion f: [mm] [0,1]->\IR [/mm] mit
f(x)=x+1/2*sin(f(x))
gibt. |
Hallo,
ich bin gerade in der Klausurvorbereitung über diese Aufgabe gestolpert, und hab irgendwie keine Ahnung wie ich das zeigen soll. Deswegen habe ich auch keinen direkten Ansatz.
Wenn ich die Funtion umschreibe also
2*(f(x)-x)=sin(f(x))
=> 2*f(0)=sin(f(0))
dann folgt ja schonmal das f(x)-x den Wertebereich [-1/2,1/2] hat, und daraus folgt das f(x)-x beschränkt ist, und da x unbeschränkt ist f(x) auch unbeschränkt...aber weiter komm ich nicht. Wie geht man so eine Aufgabe an? Ich hab diesen Typ von Aufgabe noch nie gesehen. Vielen Dank für eure Hilfe!
mfg mrpan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 So 01.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie dass genau eine stetige Funktion f: [mm][0,1]->\IR[/mm]
> mit
>
> f(x)=x+1/2*sin(f(x))
>
> gibt.
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> Hallo,
>
> ich bin gerade in der Klausurvorbereitung über diese
> Aufgabe gestolpert, und hab irgendwie keine Ahnung wie ich
> das zeigen soll. Deswegen habe ich auch keinen direkten
> Ansatz.
>
> Wenn ich die Funtion umschreibe also
>
> 2*(f(x)-x)=sin(f(x))
>
> => 2*f(0)=sin(f(0))
>
> dann folgt ja schonmal das f(x)-x den Wertebereich
> [-1/2,1/2] hat, und daraus folgt das f(x)-x beschränkt
> ist, und da x unbeschränkt ist f(x) auch
> unbeschränkt...aber weiter komm ich nicht. Wie geht man so
> eine Aufgabe an? Ich hab diesen Typ von Aufgabe noch nie
> gesehen. Vielen Dank für eure Hilfe!
>
> mfg mrpan
Der Raum C[0,1] ist mit der Maximumsnorm [mm] $||*||_{\infty}$ [/mm] ein Banachraum.
Definiere den Operator T:C[0,1] [mm] \to [/mm] C[0,1] durch
[mm] $(Tf)(x):=x+1/2*\sin(f(x))$.
[/mm]
Zeige :T ist bezüglich [mm] $||*||_{\infty}$ [/mm] eine Kontraktion auf C[0,1] .
Fixpunktsatz von Banach !
FRED
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