Existenz einer Lösung PDGL < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] \Omega = \left \{ x\in \mathbb{R}^{2}\mid \left \| x \right \|< 1 \right \}[/mm]. Zeigen Sie, daß das Randwertproblem
[mm]\nabla^2 u(x) - 2u(x) = f(x)\qquad x\in \Omega [/mm]
[mm]
u(x) = g(x)\qquad x\in \partial \Omega [/mm]
höchstens eine Lösung [mm]u \in C^2(\Omega)[/mm] besitzt. |
Hallo Zusammen,
ich habe nach langem Kopfzerbrechen nicht wirklich einen Ansatz gefunden, diese Aufgabe zu lösen. Aus naheliegenden Gründen vermute ich, dass ich die 1. Greensche Formel benutzen muss.
Im Speziellen macht es mir Probleme zu zeigen dass es höchstens eine Lösung gibt. Lösungen div. PDGL zu bestimmen ist mir meisten ohne große Probleme möglich.
Ich bin für jede Antwort dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Besten Gruß
gaylussac0815
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Fr 18.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo gaylussac0815!
> Es sei [mm]\Omega = \left \{ x\in \mathbb{R}^{2}\mid \left \| x \right \|< 1 \right \}[/mm].
> Zeigen Sie, daß das Randwertproblem
>
> [mm]\nabla^2 u(x) - 2u(x) = f(x)\qquad x\in \Omega [/mm]
> [mm]u(x) = g(x)\qquad x\in \partial \Omega [/mm]
>
> höchstens eine Lösung [mm]u \in C^2(\Omega)[/mm] besitzt.
>
> Hallo Zusammen,
>
> ich habe nach langem Kopfzerbrechen nicht wirklich einen
> Ansatz gefunden, diese Aufgabe zu lösen. Aus
> naheliegenden Gründen vermute ich, dass ich die 1.
> Greensche Formel benutzen muss.
> Im Speziellen macht es mir Probleme zu zeigen dass es
> höchstens eine Lösung gibt. Lösungen div. PDGL zu
> bestimmen ist mir meisten ohne große Probleme möglich.
>
> Ich bin für jede Antwort dankbar!
Die Methode ist immer dieselbe: du nimmst an, es gebe zwei Lösungen $u,v$ und zeigst, dass sie gleich sind.
Hier ist es am besten, $w=u-v$ für beide Funktionen der ersten Greenschen Formel einzusetzen.
Viele Grüße
Rainer
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Ok, mittlerweile glaube ich verstanden zu haben worum es geht, nämlich zu zeigen, dass Dirichlet Probleme genau eine Lösung besitzen.
Dies folgt wohl aus dem Maximumprinzip, angewandt auf die Differenz zweier Lösungen (ist es das was du ,Rainer, meinst?).
>
> Hier ist es am besten, [mm]w=u-v[/mm] für beide Funktionen der
> ersten Greenschen Formel einzusetzen.
Für den Fall, wo [mm]\Omega[/mm]
ein Kompaktum mit stückweise glattem Rand ist,
kann man es auch mittels der Greenschen Formel beweisen. Leider habe ich keine Vorstellung wie ich z.B. die Differenz in die Greenschen Formel einsetze.
Ich stehe wieder/noch auf dem Schlauch.
BG
gaylussac
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Mo 21.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ok, mittlerweile glaube ich verstanden zu haben worum es
> geht, nämlich zu zeigen, dass Dirichlet Probleme genau
> eine Lösung besitzen.
> Dies folgt wohl aus dem Maximumprinzip, angewandt auf die
> Differenz zweier Lösungen (ist es das was du ,Rainer,
> meinst?).
Nein, siehe unten.
> >
> > Hier ist es am besten, [mm]w=u-v[/mm] für beide Funktionen der
> > ersten Greenschen Formel einzusetzen.
>
> Für den Fall, wo [mm]\Omega[/mm]
> ein Kompaktum mit stückweise glattem Rand ist,
> kann man es auch mittels der Greenschen Formel beweisen.
In der vorliegenden PDGL ist [mm] $\overline\Omega$ [/mm] kompakt mit glattem Rand.
> Leider habe ich keine Vorstellung wie ich z.B. die
> Differenz in die Greenschen Formel einsetze.
Da alle Lösungen auf dem Rand [mm] $\partial\Omega$ [/mm] gleich sein müssen, ist die Differenz w zweier Lösungen auf dem Rand [mm] $\partial\Omega$ [/mm] gleich 0.
Aus der PDGL folgt [mm] $\Delta [/mm] w = 2w$ .
Setze ich w für beide Funktionen in die 1. Greensche Formel ein, so verschwindet das Randintegral auf der rechten Seite, und es bleibt
[mm] \integral_\Omega (w\Delta w + (\nabla w)^2 = 0 [/mm] .
Der Integrand ist stetig, also muss er auf [mm] $\Omega$ [/mm] identisch verschwinden.
Da [mm] $(\nabla w)^2 \ge [/mm] 0$ und [mm] $\Delta [/mm] w=2w$, folgt:
[mm] w = 0 [/mm] und [mm] \nabla w = 0 [/mm] auf [mm] $\Omega$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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