Existenz eines Algebrenhom. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien A [mm] \subseteq [/mm] B eine ganze Ringerweiterung und A [mm] \to \Omega [/mm] ein Ringhomomorphismus, wobei [mm] \Omega [/mm] ein algebraisch abgeschlossener Körper sei. Zeigen Sie, dass ein A-Algebrenhomomorphismus B [mm] \to \Omega [/mm] existiert. Zeigen Sie durch ein Beispiel, dass man auf die Ganzheit hier nicht verzichten kann.
Hinweis: Der Kern von A [mm] \to \Omega [/mm] ist ein Primideal p, also ist [mm] \Omega [/mm] eine Erweiterung von k(p) := Quot(A/p). Verwenden Sie, dass sich jede algebraische Körpererweiterung von k(p) in [mm] \Omega [/mm] einbettet. |
Hallo Leute,
ich bin bei der Aufgabe bisher streng dem Hinweis gefolgt.
ker(f) ist ein Primideal, da für ein x [mm] \in [/mm] ker(f) mit x = ab (a,b [mm] \in [/mm] A) gilt:
f(x) = f(ab) = f(a)f(b) = 0 und da [mm] \Omega [/mm] insbesondere ein Integritätsring ist folgt, dass f(a) = 0 oder f(b) = 0, also a [mm] \in [/mm] ker(f) oder b [mm] \in [/mm] ker(f) gilt.
Setze nun p := ker(f).
Nach Homomorphiesatz gilt A/p [mm] \cong [/mm] im(f) [mm] \subseteq \Omega
[/mm]
Also k(p) = Quot(A/p) [mm] \cong [/mm] Quot(im(f)) [mm] \subseteq Quot(\Omega) [/mm] = [mm] \Omega
[/mm]
[mm] \Rightarrow \Omega [/mm] ist Erweiterung von k(p).
Mein Problem besteht jetzt darin, dass ich nicht weiß, was mir das genau bringt, bzw. wie ich nun weitermachen soll. Ich denke, dass ich eine geeignete Erweiterung von k(p) betrachten muss, welche was mit dem Ring B zu tun hat. Die Ganzheit der Ringerweiterung A [mm] \subseteq [/mm] B muss auch noch irgendwo mit einfließen.
Leider sehe ich nicht, wie das nun funktionieren soll.
Bei dem Beispiel, wieso man auf die Ganzheit der Erweiterung A [mm] \subseteq [/mm] B nicht verzichten kann, habe ich an [mm] A:=\IZ, B:=\IQ, \Omega:= \IC [/mm] gedacht.
Da es jeweils genau einen Ringhomomorphismus [mm] \IZ \to \IQ [/mm] und [mm] \IZ \to \IC [/mm] gibt, welcher z [mm] \in \IZ [/mm] auf 1z schickt, ist aber der [mm] \IZ-Algebrenhomomorphismus \IQ [/mm] -> [mm] \IZ [/mm] schon eindeutig bestimmt.
Das heißt dann wohl, dass ich mir ein anderes Beispiel suchen muss, weil das hier scheint ja zu klappen.
Würde mich über jede Hilfe freuen!
Viele Grüße
Anfänger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Di 26.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien A [mm]\subseteq[/mm] B eine ganze Ringerweiterung und A [mm]\to \Omega[/mm]
> ein Ringhomomorphismus, wobei [mm]\Omega[/mm] ein algebraisch
> abgeschlossener Körper sei. Zeigen Sie, dass ein
> A-Algebrenhomomorphismus B [mm]\to \Omega[/mm] existiert. Zeigen Sie
> durch ein Beispiel, dass man auf die Ganzheit hier nicht
> verzichten kann.
>
> Hinweis: Der Kern von A [mm]\to \Omega[/mm] ist ein Primideal p,
> also ist [mm]\Omega[/mm] eine Erweiterung von k(p) := Quot(A/p).
> Verwenden Sie, dass sich jede algebraische
> Körpererweiterung von k(p) in [mm]\Omega[/mm] einbettet.
> Hallo Leute,
>
> ich bin bei der Aufgabe bisher streng dem Hinweis gefolgt.
>
> ker(f) ist ein Primideal, da für ein x [mm]\in[/mm] ker(f) mit x =
> ab (a,b [mm]\in[/mm] A) gilt:
> f(x) = f(ab) = f(a)f(b) = 0 und da [mm]\Omega[/mm] insbesondere ein
> Integritätsring ist folgt, dass f(a) = 0 oder f(b) = 0,
> also a [mm]\in[/mm] ker(f) oder b [mm]\in[/mm] ker(f) gilt.
Das sollte eigentlich klar sein. Das Bild von der injektiven Abbildung $A/p [mm] \to \Omega$ [/mm] ist ein Int'bereich, womit der Kern ein Primideal ist.
> Setze nun p := ker(f).
> Nach Homomorphiesatz gilt A/p [mm]\cong[/mm] im(f) [mm]\subseteq \Omega[/mm]
Genau.
> Also k(p) = Quot(A/p) [mm]\cong[/mm] Quot(im(f)) [mm]\subseteq Quot(\Omega)[/mm]
> = [mm]\Omega[/mm]
> [mm]\Rightarrow \Omega[/mm] ist Erweiterung von k(p).
Ja.
> Mein Problem besteht jetzt darin, dass ich nicht weiß, was
> mir das genau bringt, bzw. wie ich nun weitermachen soll.
> Ich denke, dass ich eine geeignete Erweiterung von k(p)
> betrachten muss, welche was mit dem Ring B zu tun hat. Die
> Ganzheit der Ringerweiterung A [mm]\subseteq[/mm] B muss auch noch
> irgendwo mit einfließen.
> Leider sehe ich nicht, wie das nun funktionieren soll.
Ueberlege dir: der Int'bereich $B / pB$ ist eine ganze Erweiterung von $A / p$. Damit ist $Quot(B/pB)$ eine algebraische Erweiterung von $Quot(A/p)$. Damit kannst du $B/pB$ in [mm] $\Omega$ [/mm] einbetten (und zwar $Quot(A/p)$-invariant), bekommst also einen $A$-Algebrahomomorphismus $B/pB [mm] \to \Omega$. [/mm] Kannst du daraus einen $A$-Algebrahomomorphismus $B [mm] \to \Omega$ [/mm] bekommen?
> Bei dem Beispiel, wieso man auf die Ganzheit der
> Erweiterung A [mm]\subseteq[/mm] B nicht verzichten kann, habe ich
> an [mm]A:=\IZ, B:=\IQ, \Omega:= \IC[/mm] gedacht.
Das ist ein schlechtes Beispiel, da es dort wunderbar funktioniert.
> Da es jeweils genau einen Ringhomomorphismus [mm]\IZ \to \IQ[/mm]
> und [mm]\IZ \to \IC[/mm] gibt, welcher z [mm]\in \IZ[/mm] auf 1z schickt, ist
> aber der [mm]\IZ-Algebrenhomomorphismus \IQ[/mm] -> [mm]\IZ[/mm] schon
> eindeutig bestimmt.
Es gibt keinen Ringhomomorphismus [mm] $\IQ \to \IZ$. [/mm] Meinst du [mm] $\IQ \to \IC$ [/mm] oder [mm] $\IZ \to \IQ$?
[/mm]
> Das heißt dann wohl, dass ich mir ein anderes Beispiel
> suchen muss, weil das hier scheint ja zu klappen.
Ja.
Schau dir doch mal die Stellen im Beweis an, wo du benoetigst, dass $B$ ganz ueber $A$ ist. Wozu brauchst du die Ganzheit?
LG Felix
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Hallo Felix,
tut mir Leid, dass ich mich jetzt erst melde, hatte den Thread mittlerweile völlig vergessen. Hab noch eine Lösung zustande gebracht, welche im wesentlichen dieselben Argumente benutzt, welche du geschrieben hast.
Trotzdem danke, dass du dir die Zeit genommen hast!
Viele Grüße
Anfänger
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