Existenz eines Isomorphismuses < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 So 04.07.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo zusammen
ich komme bei der einen Aufgabe nicht weiter. Sie lautet:
Es sei K ein kommutativer Ring und V sei K-Modul. Man zeige:
Es gibt einen Isomorphismus [mm] \varphi: K\otimes_K V \to V[/mm] mit [mm]\varphi(s\otimes v)=s*v[/mm] für alle [mm]s\inK ,v\in V[/mm]
Die Existenz von [mm]\varphi[/mm] habe ich wie folgt bewiesen.
Definiere [mm]\Phi_2:K\times V\rightarrow V[/mm] mit [mm]\Phi_2(s,v)=s*v[/mm]
Zu zeigen: [mm]\Phi_2[/mm] bilinear.
Es gilt:
1) [mm]\Phi_2(ts+s',v)=(ts+s')v=tsv+s'v=t(sv)+s'v=t\Phi_2(s,v)+\Phi_2(s',v)[/mm]
2) [mm]\Phi_2(s,tv+v')=s(tv+v')=stv+sv'=t(sv)sv'=t\Phi_2(s,v)+\Phi_2(s,v')[/mm]
[mm]\Rightarrow \Phi_2[/mm] bilinear.
[mm]\Rightarrow[/mm] Es existiert genau eine K-lineare Abbildung: [mm]\varphi:K\otimes V \rightarrowV[/mm] mit [mm]\varphi(s\otimes v)=s*v[/mm]
Es bleibt noch zu zeigen, dass [mm]\varphi [/mm] Isomorphismus ist.
Hierbei hänge ich. Könntet ihr mir hierfür einen Tipp geben.
Vielen dank im Vorraus
bis denne
Jessica.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 So 04.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Dies ist nur ein gültiger Beweis für Vektorräume, nicht für Moduln (jedenfalls nicht für nicht freie Moduln). Der richtige Beweis findet sich hier
Liebe Jessica!
[mm] $\varphi$ [/mm] ist doch dann ein Isomorphismus, wenn das Bild einer Basis von $K [mm] \otimes_K [/mm] V$ unter [mm] $\varphi$ [/mm] wieder eine Basis von $V$ ist, oder?
Aber nun ist:
$(1 [mm] \otimes_K v_i)_{i \in I}$
[/mm]
eine Basis von $K [mm] \otimes_K [/mm] V$, wenn
[mm] $(v_i)_{i \in I}$
[/mm]
eine Basis von $V$ ist, und es gilt:
[mm] $\varphi(1 \otimes_K v_i) [/mm] = [mm] v_i$
[/mm]
für alle $i [mm] \in [/mm] I$.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 So 04.07.2004 | | Autor: | Jessica |
Danke für die schnell Antwort, die war echt goldwert!
Liebe Grüße
Jessica
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 So 04.07.2004 | | Autor: | Feanor |
Hallo zusammen,
> [mm]\varphi[/mm] ist doch dann ein Isomorphismus, wenn das Bild
> einer Basis von [mm]K \otimes_K V[/mm] unter [mm]\varphi[/mm] wieder eine
> Basis von [mm]V[/mm] ist, oder?
>
> Aber nun ist:
>
> [mm](1 \otimes_K v_i)_{i \in I}[/mm]
>
> eine Basis von [mm]K \otimes_K V[/mm], wenn
>
> [mm](v_i)_{i \in I}[/mm]
>
> eine Basis von [mm]V[/mm] ist, und es gilt:
das war auch mein erster Ansatz, hier muß man allerdings aufpassen, es kann ja auch sein, daß der Modul keine Basis besitzt (z.B. [mm] $\IZ_n$ [/mm] als [mm] $\IZ$ [/mm] Modul).
Daher habe ich das so gemacht:
[mm] ($\varphi$ [/mm] injektiv) Gilt [mm] $\varphi(s\otimes v)=\varphi(s'\otimes [/mm] v')$, so gilt weiter $sv=s'v'$, also [mm] $s\otimes v=1\otimes (sv)=1\otimes (s'v')=s'\otimes [/mm] v'$. Also ist [mm] $\varphi$ [/mm] injektiv.
[mm] ($\varphi$ [/mm] surjektiv) Für beliebiges [mm] $v\in [/mm] V$ gilt [mm] $v=\varphi(1\otimes [/mm] v)$, mit [mm] $1\otimes v\in K\otimes [/mm] V$, damit ist [mm] $\varphi [/mm] $ surjektiv.
Viele Grüße
Sebastian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:27 So 04.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Sebastian!
Du hast vollkommen Recht. Ich hatte überlesen, dass es sich um Moduln handelt und nur an Vektorräume gedacht. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") , liebe Jessica!
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
