Existenz eines Polynomes < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Do 09.05.2013 | | Autor: | Aguero |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: [mm] A\in [/mm] GL(n,K) , dann gibt es ein Polynom g [mm] \in [/mm] K[X] mit [mm] g(A)=A^{-1} [/mm] |
ist hier jetzt zu zeigen, dass eine (n x n)Matrix auch ein Inverses besitzt?
Leider weiß ich nicht wie ich hier vorgehen soll
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Do 09.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie: [mm]A\in[/mm] GL(n,K) , dann gibt es ein Polynom g [mm]\in[/mm]
> K[X] mit [mm]g(A)=A^{-1}[/mm]
> ist hier jetzt zu zeigen, dass eine (n x n)Matrix auch ein
> Inverses besitzt?
Nein.
GL(n,K) ist def. als die Menge der invertierbaren nxn - Matrizen mit Einträgen aus K.
Ist also [mm]A\in[/mm] GL(n,K), so ist A invertierbar.
Zeigen sollst Du, dass es ein Polynom g aus K[X] gibt mit :[mm]g(A)=A^{-1}[/mm].
Nimm das char. Polynom von A und denke an Cayley- Hamilton.
FRED
> Leider weiß ich nicht wie ich hier vorgehen soll
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Do 09.05.2013 | | Autor: | Aguero |
okay, wie komme ich aber an das polynom? es wurde ja keine genaue Matrix A definiert.
würde es so aussehen?
Sei v [mm] \in K^{n} [/mm] beliebig, wobei [mm] v_{i} \not= [/mm] 0 & l.u.
=> char.pol. [mm] (x_{1}-\lambda) [/mm] * [mm] (x_{2}-\lambda) [/mm] * ... * [mm] (x_{n}-\lambda)
[/mm]
??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Do 09.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> okay, wie komme ich aber an das polynom? es wurde ja keine
> genaue Matrix A definiert.
>
> würde es so aussehen?
>
> Sei v [mm]\in K^{n}[/mm] beliebig, wobei [mm]v_{i} \not=[/mm] 0 & l.u.
>
> => char.pol. [mm](x_{1}-\lambda)[/mm] * [mm](x_{2}-\lambda)[/mm] * ... *
> [mm](x_{n}-\lambda)[/mm]
>
> ??
Was ist das denn für ein Unfug ?
Sei p das char. Polynom von A, also
[mm] p(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_1X+a_0.
[/mm]
Überlege Dir, dass [mm] a_0\ne [/mm] 0 ist.
Nach Cayley -Hamilton ist
[mm] A^n+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_1A+a_0E=0
[/mm]
Somit
[mm] a_0E=-(A^n+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_1A)
[/mm]
Was mußt Du nun tun, um auf der linken Seite [mm] A^{-1} [/mm] zu erhalten ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Do 09.05.2013 | | Autor: | Aguero |
>
> Sei p das char. Polynom von A, also
>
> [mm]p(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_1X+a_0.[/mm]
ah mist, an das p(X) habe ich auch zuerst gedacht!
> Überlege Dir, dass [mm]a_0\ne[/mm] 0 ist.
>
> Nach Cayley -Hamilton ist
>
> [mm]A^n+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_1A+a_0E=0[/mm]
>
> Somit
>
> [mm]a_0E=-(A^n+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_1A)[/mm]
>
> Was mußt Du nun tun, um auf der linken Seite [mm]A^{-1}[/mm] zu
> erhalten ?
>
> FRED
das Polynom g drauf anwenden? auf die linke oder rechte seite der gleichung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Do 09.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Multipliziere
$ [mm] a_0E=-(A^n+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_1A) [/mm] $
Mit der Inversen von A und teile durch [mm] a_0
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Do 09.05.2013 | | Autor: | Aguero |
> Multipliziere
>
>
> [mm]a_0E=-(A^n+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_{1}A)[/mm]
>
> Mit der Inversen von A und teile durch [mm]a_0[/mm]
>
> FRED
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{-(A^{n}+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_{1}A)}{a_{0}} [/mm] * [mm] A^{-1}
[/mm]
<=> [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{-(A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+...+a_{1})}{a_{0}}
[/mm]
so? und nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Do 09.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Multipliziere
> >
> >
> > [mm]a_0E=-(A^n+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_{1}A)[/mm]
> >
> > Mit der Inversen von A und teile durch [mm]a_0[/mm]
> >
> > FRED
>
>
> [mm]A^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{-(A^{n}+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_{1}A)}{a_{0}}[/mm]
> * [mm]A^{-1}[/mm]
>
> <=> [mm]A^{-1}[/mm] =
> [mm]\bruch{-(A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+...+a_{1})}{a_{0}}[/mm]
>
> so? und nun?
Wähle [mm] g(X)=\bruch{-(X^{n-1}+a_{n-1}X^{n-2}+...+a_{1})}{a_{0}}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Do 09.05.2013 | | Autor: | Aguero |
wäre es schon die lösung? kannst es es etwas näher erläutern?
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Hallo,
> wäre es schon die lösung? kannst es es etwas näher
> erläutern?
Wozu die ganze Umformerei?
Was ist mit der obigen Wahl von $g$ denn nun $g(A)$ ??
Behalte die Aufgabenstellung im Blick ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Do 09.05.2013 | | Autor: | Aguero |
> > <=> [mm]A^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{-(A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+...+a_{1})}{a_{0}}[/mm]
> >
ist g(A) nicht die rechte Seite der gleichung? und was nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Do 09.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > <=> [mm]A^{-1}[/mm] =
> [mm]\bruch{-(A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+...+a_{1})}{a_{0}}[/mm]
> > >
>
> ist g(A) nicht die rechte Seite der gleichung? und was nun?
hör' mal auf zu raten, guck', was Du zeigen sollst und denk' drüber nach,
was getan wurde.
Freds Rechnung zeigt:
Ist [mm] $p\,$ [/mm] das charakteristische Polynom von [mm] $A\,,$ [/mm] also
[mm] $$p(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_1X+a_0X^0 \text{ mit }p(A)=0 \text{ (wegen Cayley-Hamilton)}\,,$$
[/mm]
so definiere man
[mm] $$g(X):=-\frac{1}{a_0}X^{n-1}-\frac{a_{\red{n-1}}}{a_0}X^{\blue{n-2}}-...-\frac{a_2}{a_0}X-\frac{a_1}{a_0}X^0$$
[/mm]
und [mm] $g\,$ [/mm] leistet das Gewünschte (das kannst Du jetzt auch nochmal
"straight forward" nachrechnen - aber Fred wollte Dir halt nicht einfach
nur das Ergebnis, welches man dann einfach beweisen kann, vom Himmel
fallen lassen, sondern Dir auch zeigen, wie man sich das selbst überlegen
kann).
Wichtig dabei: [mm] $a_0 \not=0$!
[/mm]
P.S. Also wundere Dich nicht, wenn die Musterlösung der Übungsaufgabe
Euch so vorgestellt wird:
Sei [mm] $p\,$ [/mm] das charakteristische Polynom von [mm] $A\,,$ [/mm] also
[mm] $$p(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_1X+a_0X^0 \text{ mit }p(A)=0 \text{ (wegen Cayley-Hamilton)}\,,$$
[/mm]
und wir definieren
[mm] $$g(X):=-\frac{1}{a_0}X^{n-1}-\frac{a_{\red{n-1}}}{a_0}X^{\blue{n-2}}-...-\frac{a_2}{a_0}X-\frac{a_1}{a_0}X^0\,.$$
[/mm]
Hierbei ist wegen ... sicher [mm] $a_0\not=0\,.$
[/mm]
Dann gilt [mm] $g(A)=A^{-1}\,,$ [/mm] denn es gilt:
[mm] $$A*g(A)=...=E\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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