Existenz eines Ringisos < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 So 22.11.2009 | | Autor: | marc1601 |
| Aufgabe | Sei $K$ ein Körper. Man zeige unter Verwendung des chinesischen Restsatzes und der Tatsache, dass $K[x]$ ein Hauptidealring ist, die Existenz des Ringisomorphismus
[mm] $K[x]/(x^2+5x+6) \cong [/mm] K [mm] \times [/mm] K$ |
Ein kleiner Tipp ist in der Aufgabe ja schon gegeben: Die Nutzung des chinesischen Restsatzes. Ich hab mir dann das Polynom [mm] $x^2+5x+6$ [/mm] angeschaut und festgestellt, dass es das kgV der Polynome $(x+2)$ und $(x+3)$ ist. Außerdem ist ein ggT der beiden gerade 1. Wunderbar: Der chinesische Restsatz ist anwendbar.
Aber er gibt mir doch erstmal nur die Existenz des Ringisos
[mm] $K[x]/(x^2+5x+6) \cong [/mm] K[x]/(x+2) [mm] \times [/mm] K[x]/(x+3)$.
Mir will jetzt nicht so ganz in den Sinn kommen, warum $K[x]/(x+2)$ und $K[x]/(x+3)$ jeweils isomorph zu $K$ sein sollen. Hat jemand einen Tipp für mich?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 So 22.11.2009 | | Autor: | andreas |
hi
schau dir mal für [mm] $\alpha \in [/mm] K$ den ringhomomorphismus $K[x] [mm] \rightarrow [/mm] K; f(x) [mm] \longmapsto f(\alpha)$. [/mm] mit hilfe des homomorphiesatzes sollte dir dieser einen ringismorphismus $K[x]/(x - [mm] \alpha) \cong [/mm] K$ induzieren.
grüße
andreas
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