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Existenz eines"nächsten Punkt": Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:55 Do 30.05.2013
Autor: SandySan

Aufgabe
Sei (X,d) metrischer Raum.

(a) Sei K  [mm] \subset [/mm] X kompakt. Zeigen Sie, dass es zu jedem [mm] a\in [/mm] X einen Punkt [mm] b\in [/mm] K mit d(a,b)=dist(a,K) gibt, also einen "nächsten Punkt" zu a in K.

Dabei ist dist(a,K):= inf [mm] \{d(a,x) : x\in K \} [/mm]

(b) Dies ist sogar eindeutig wenn [mm] X=\IR^n [/mm] und zusätzlich K konvex ist.

Also jede folgenkompakte menge ist beschränkt und abgeschlossen.

Eine Teilmenge A eines metrischen Raums heißt folgenkompakt, wenn jede Folge in A einen Häufungswert in A hat (also eine gegen A konvergente teilfolge besitzt).

Deswegen kam ich auf die idee, dass man wohlmöglich mit folgen argumentieren muss.

Aber irgendwie kann ich mr das alles garnicht vorstellen.


Der abstand von |a-b|, mit [mm] a\in [/mm] X und [mm] b\in [/mm] K soll also genauso groß sein wie der kleinste abstand von |a-b|, mit [mm] b\in [/mm] K ?

Irgenwie weiss ich garnicht so genau, was ich hier nun zeigen soll.


        
Bezug
Existenz eines"nächsten Punkt": Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Sa 01.06.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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