Existenz eines"nächsten Punkt" < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei (X,d) metrischer Raum.
(a) Sei K [mm] \subset [/mm] X kompakt. Zeigen Sie, dass es zu jedem [mm] a\in [/mm] X einen Punkt [mm] b\in [/mm] K mit d(a,b)=dist(a,K) gibt, also einen "nächsten Punkt" zu a in K.
Dabei ist dist(a,K):= inf [mm] \{d(a,x) : x\in K \}
[/mm]
(b) Dies ist sogar eindeutig wenn [mm] X=\IR^n [/mm] und zusätzlich K konvex ist. |
Also jede folgenkompakte menge ist beschränkt und abgeschlossen.
Eine Teilmenge A eines metrischen Raums heißt folgenkompakt, wenn jede Folge in A einen Häufungswert in A hat (also eine gegen A konvergente teilfolge besitzt).
Deswegen kam ich auf die idee, dass man wohlmöglich mit folgen argumentieren muss.
Aber irgendwie kann ich mr das alles garnicht vorstellen.
Der abstand von |a-b|, mit [mm] a\in [/mm] X und [mm] b\in [/mm] K soll also genauso groß sein wie der kleinste abstand von |a-b|, mit [mm] b\in [/mm] K ?
Irgenwie weiss ich garnicht so genau, was ich hier nun zeigen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 01.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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