Existenz linearer Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:23 Di 18.12.2012 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass eine lineare Abbildung [mm] F:\IQ[/mm] [t]_3 [mm] \to \IQ[/mm] [t]_3 existiert mit:
t [mm] \to t^2, t^3\to [/mm] t +1 , 1 [mm] \to t^2-t [/mm] |
Meine Idee war, dass:
F(x) = [mm] I_s^{-1} (M^B_S [/mm] (F)* [mm] I_B [/mm] (x)) ist.
Zunächst habe ich mir t, [mm] t^3 [/mm] und 1 als Vektoren definiert.
Dann gilt:
u= (0 1 0 0) , v= (0 0 0 1), w= (1 0 0 0)
Zudem gilt nach Voraussetzung:
F(u) = (0 0 1 0), F(v)= (1 1 0 0), F(w)=( 0 -1 1 0)
Nun will ich mir geschickt eine Basis bauen um dann auf die Matrix [mm] M^{B}_S [/mm] zu kommen.
u,v,w sind ja offensichtlich linear unabhängig.
Also sei B=((w),(u),(v)) meine gewählte Basis B und S die Standardbasis , dann gilt für [mm] M^{B}_S(F):
[/mm]
[mm] M^{B}_S(F)=\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0}.
[/mm]
Und dadurch folgt ja dann eigentlich schon, dass eine lineare Abbildung existiert?!
Stimmt das so was ich gemacht hab?
Vielen Dank schon einmal im Voraus.
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> Zeigen Sie, dass eine lineare Abbildung [mm]F:\IQ[/mm] [t]_3 [mm]\to \IQ[/mm] [t]_3 existiert mit:
> t [mm]\to t^2, t^3\to[/mm] t +1 , 1 [mm]\to t^2-t[/mm]
> Meine Idee war, dass:
>
> F(x) = [mm]I_s^{-1} (M^B_S[/mm] (F)* [mm]I_B[/mm] (x)) ist.
>
> Zunächst habe ich mir t, [mm]t^3[/mm] und 1 als Vektoren definiert.
Hallo,
da t, [mm] t^3 [/mm] und 1 Elemente eines Vektorraumes sind, sind es Vektoren. (Vektor=Element eines Vektorraumes.)
Du hast etwas anderes getan, nämlich die drei Vektoren als Koordinatenvektoren bzgl der Standardbasis [mm] S:=(1,t,t^2, t^3) [/mm] hingeschrieben.
Koordinatenvektoren sind übrigens normalerweise Spaltenvektoren und keine Zeilen, oder macht Ihr das anders in Eurer VL?
Ich rate dringend davon ab, mal Zeilen und mal Spalten zu nehmen, denn man kommt leicht durcheinander, was sich auch später in Deinem Tun zeigt.
Ich möchte auf Deinen Weg zunächst nicht in allen Einzelheiten eingehen und ihn auch nicht weiterführen, auch wenn er manche richtige Überlegung enthält, denn durch das Gemachsel mit den Koordinatenvektoren entfernt er sich für meinen Geschmack zu weit von den Polynomen.
> Dann gilt:
>
> u= (0 1 0 0) , v= (0 0 0 1), w= (1 0 0 0)
> Zudem gilt nach Voraussetzung:
>
> F(u) = (0 0 1 0), F(v)= (1 1 0 0), F(w)=( 0 -1 1 0)
Das müssen auch Spalten sein!
>
> Nun will ich mir geschickt eine Basis bauen um dann auf die Matrix [mm]M^{B}_S[/mm] zu kommen.
> u,v,w sind ja offensichtlich linear unabhängig.
> Also sei B=((w),(u),(v)) meine gewählte Basis B
Sie lautet?
> und S die Standardbasis ,
Sie lautet?
dann gilt für [mm]M^{B}_S(F):[/mm]
> [mm]M^{B}_S(F)=\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 1 & 0}.[/mm]
Oh.Oh. Hier haben wir den Salat, der durchs Zeilen-Spalten-Wirrwarr entsteht:
in den Spalten (!!!) der Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren.
Irritiert es Dich nicht, daß Du hier eine [mm] 3\times [/mm] 4-Matrix hast?
Als Abbildungsmatrix zwischen 2 vierdimensionalen Räumen würde man eine [mm] 4\times [/mm] 4-Matrix erwarten, oder?
> Und dadurch folgt ja dann eigentlich schon, dass eine lineare Abbildung existiert?!
Ich weiß immer noch nicht, wie sie aussieht.
Ich seh' da bloß eine Matrix.
> Stimmt das so was ich gemacht hab?
Es ist durchaus Richtiges enthalten.
Laß uns aber jetzt mal etwas dichter an den Polynomen bleiben.
Es geht doch darum, ob Du eine Abbildungsvorschrift
[mm] F(a+bt+ct^2+dt^3):=...+...t+...t^2+...t^3 [/mm]
so angeben kannst, daß die Abbildung F linear ist und außerdem die Bedingungen
[mm] F(1)=t^2-1, F(t)=t^2 [/mm] und [mm] F(t^3)=t+1
[/mm]
erfüllt.
Nun bist Du, wie Du zuvor bereits erkannt hattest, in der glücklichen Situation, daß die Vektoren [mm] 1,t,t^3 [/mm] linear unabhängig sind, was das Definieren einer linearen Abbildung sehr bequem macht:
Du ergänzt die drei Vektoren jetzt einfach durch den Vektor [mm] t^2 [/mm] zu einer Basis des [mm] \IQ[/mm] [t]_{3}, und weist ihm einen Funktionswert nach Deinem Geschmack zu, etwa [mm] F(t^2):=t^3+\pi t-\wurzel{2}, [/mm] oder, falls Du es gerne bequem magst, [mm] F(t^2)=0.
[/mm]
Du hast sicher gelernt, daß eine jegliche lineare Abbildung durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt ist.
Die "Werte auf einer Basis" hast Du nun.
Jetzt schreibe unter Ausnutzung der Linearität von F hin, was
[mm] F(a+bt+ct^2+dt^3)
[/mm]
ergibt, weise nach, daß die Abbildung linear ist, und rechne vor, daß sie die gestellten Bedingungen erfüllt.
LG Angela
> Vielen Dank schon einmal im Voraus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:59 Di 18.12.2012 | | Autor: | Gnocchi |
> Koordinatenvektoren sind übrigens normalerweise Spaltenvektoren und keine Zeilen, oder macht Ihr das anders in Eurer VL?
> Ich rate dringend davon ab, mal Zeilen und mal Spalten zu nehmen, denn man kommt leicht durcheinander, was sich auch später in Deinem Tun zeigt.
Wir haben manchmal Zeilen- und manchmal Spaltenvektoren. Deswegen hab ich das manchmal auch durcheinander. Hier wars als Zeilen zu schreiben...hätte aber natürlich auch T für transponiert ergänzen können
> Sie lautet?
[mm] (1,t,t^3)
[/mm]
> > und S die Standardbasis ,
>
> Sie lautet?
>
[mm] (1,t,t^2,t^3)
[/mm]
> Irritiert es Dich nicht, daß Du hier eine [mm]3\times[/mm] 4-Matrix hast?
Doch, hatte es. Dann wollte ich die Basis um [mm] t^2 [/mm] ergänzen wie du es unten geschrieben hast, aber dann war ich verwirrt weil ich die Standardbasis hatte. Das passte nämlich irgendwie nicht zur Beispielaufgabe, die wir im Tutorium gemacht haben.
> Jetzt schreibe unter Ausnutzung der Linearität von F hin, was
> [mm]F(a+bt+ct^2+dt^3)[/mm]
> ergibt, weise nach, daß die Abbildung linear ist, und rechne vor, daß sie die gestellten Bedingungen erfüllt.
>
> LG Angela
Also ich habe nun die bequemere Lösung genommen, so dass [mm] F(t^2) [/mm] = 0 ist. Wobei ich [mm] t^2 [/mm] vorher dann zur Basis ergänzt habe.
Wenn ich das nun richtig verstehe soll ich nun unter Ausnutzung der Abbildung schreiben wie mein allgemeines Polynom abgebildet wird.
Also [mm] F(a+bt+ct^2+dt^3) [/mm] = [mm] a(t^2-1)+bt^2+0+d(t+1) [/mm] ???
Darauf prüfe ich dann die beiden Linearitätsbedingungen ab?
Wenn die erfüllt sind, setz ich meine gegeben Bedingungen in F ein. Und zeig dann z.B., dass F(1)= [mm] t^2-1 [/mm] ist?
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> > Vielen Dank schon einmal im Voraus.
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> > Koordinatenvektoren sind übrigens normalerweise
> Spaltenvektoren und keine Zeilen, oder macht Ihr das anders
> in Eurer VL?
> > Ich rate dringend davon ab, mal Zeilen und mal Spalten
> zu nehmen, denn man kommt leicht durcheinander, was sich
> auch später in Deinem Tun zeigt.
> Wir haben manchmal Zeilen- und manchmal Spaltenvektoren.
> Deswegen hab ich das manchmal auch durcheinander. Hier wars
> als Zeilen zu schreiben...hätte aber natürlich auch T
> für transponiert ergänzen können
>
> > Sie lautet?
> [mm](1,t,t^3)[/mm]
> > > und S die Standardbasis ,
> >
> > Sie lautet?
> >
> [mm](1,t,t^2,t^3)[/mm]
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> > Irritiert es Dich nicht, daß Du hier eine [mm]3\times[/mm] 4-Matrix
> hast?
> Doch, hatte es. Dann wollte ich die Basis um [mm]t^2[/mm] ergänzen
> wie du es unten geschrieben hast, aber dann war ich
> verwirrt weil ich die Standardbasis hatte. Das passte
> nämlich irgendwie nicht zur Beispielaufgabe, die wir im
> Tutorium gemacht haben.
>
> > Jetzt schreibe unter Ausnutzung der Linearität von F hin,
> was
> > [mm]F(a+bt+ct^2+dt^3)[/mm]
> > ergibt, weise nach, daß die Abbildung linear ist, und
> rechne vor, daß sie die gestellten Bedingungen erfüllt.
> >
> > LG Angela
>
> Also ich habe nun die bequemere Lösung genommen, so dass
> [mm]F(t^2)[/mm] = 0 ist. Wobei ich [mm]t^2[/mm] vorher dann zur Basis
> ergänzt habe.
> Wenn ich das nun richtig verstehe soll ich nun unter
> Ausnutzung der Abbildung schreiben wie mein allgemeines
> Polynom abgebildet wird.
> Also [mm]F(a+bt+ct^2+dt^3)[/mm] = [mm]a(t^2-1)+bt^2+0+d(t+1)[/mm] ???
> Darauf prüfe ich dann die beiden Linearitätsbedingungen
> ab?
> Wenn die erfüllt sind, setz ich meine gegeben Bedingungen
> in F ein. Und zeig dann z.B., dass F(1)= [mm]t^2-1[/mm] ist?
Hallo,
ja, genauso hatte ich mir das vorgestellt.
Du weist die Existenz der geforderten Abbildung nach, indem Du so eine angibst und zeigst, daß sie alle Eigenschaften hat, die sie haben soll.
LG Angela
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> > > Vielen Dank schon einmal im Voraus.
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