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| Aufgabe | Überprüfen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf Existenz und begründen Sie ihre Antwort.
a) [mm] \int_{0}^{\infty} \bruch{|sin(x)|}{x}\, [/mm] dx
b) [mm] \int_{0}^{\infty} \bruch{sin(x)}{x}\, [/mm] dx |
Hallo!
Also ich habe einen Ansatz gefunden, danach weiß ich aber nicht weiter..
zu a)
Also ich habe hier in einem Buch den Hinweis gefunden, dass es reicht zu zeigen, dass
das Integral
[mm] \int_{\pi}^{\infty} \bruch{|sin(x)|}{x}\, [/mm] dx nicht existiert, sie betrachten dies nun als Folge
[mm] \forall n\in \IN [/mm] : [mm] I_n [/mm] := [mm] \int_{\pi}^{(n+1)\pi} \bruch{|sin(x)|}{x}\, [/mm] dx
und zeigen, dass sie beschränkt ist, da konvergente Folgen beschränkt sind und damit nicht beschränkte Folgen divergent.
Ich bin mir nicht so sicher, warum ich einfach das Integral als Folge betrachten darf und warum die obere Integralgrenze so gewält wird? Kann mir das jemand erklären?
Danach werden Umformungen gemacht, die ich zum Teil nicht nachvollziehen kann:
[mm] I_n [/mm] = [mm] \int_{ \pi }^{(n+1) \pi} \bruch{|sin(x)|}{x}\, [/mm] dx
= [mm] \sum_{k=1}^{n} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \bruch{|sin(x)|}{x}\, [/mm] dx
Hier verstehe ich nicht, warum ich das so als Summe schreiben darf?
[mm] \ge \sum_{k=1}^{n} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \bruch{|sin(x)|}{(k+1)\pi}\, [/mm] dx
Diese Abschätzung ist klar, es wird für x die obere Grenze eingesetzt, die damit immer größer ist.
[mm] =\sum_{k=1}^{n} \bruch{1}{(k+1)\pi} \cdot \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} [/mm] |sin(x)| [mm] \, [/mm] dx
= [mm] \bruch{1}{\pi} \sum_{k=1}^{n-1} \bruch{1}{k+1} \cdot \int_{0}^{\pi} [/mm] |sin(x)| [mm] \, [/mm] dx
Ich denke man ändert die Grenzen da man sagt es reicht zu zeigen, dass der Graph für die eine Periode existiert, damit der gesamt Graph existiert.
= [mm] \bruch{1}{\pi} \sum_{k=1}^{n-1} \bruch{1}{k+1} \cdot [/mm] [(-cos x] (mit oberer Grenze [mm] \pi [/mm] und unterer Grenze 0)
Ich habe mir das aufgemalt und dann sieht man schon, dass -cos die Stammfunktion für |sin(x)|, aber kann man dass auch anders begründen?
= [mm] \bruch{1}{\pi} \sum_{k=1}^{n-1} \bruch{1}{k+1} \cdot [/mm] 2
= [mm] \bruch{2}{\pi} \sum_{k=1}^{n-1} \bruch{1}{k+1}
[/mm]
Und dann wird im Buch über die Unbeschränkheit der Partialsummenfolge der harmonischen Reihe argumentiert.
Mir ist allerdings nur die harmonische Reihe bekannt. Kann mir da jemand weiterhelfen?
nun zu b)
Hier bin ich noch nicht so weit. Ich denke, dass das Integral existiert. Und dacht an den Satz, das beschränkte und monotone Folgen konvergieren.
Dann müsste ich Beschränktheit und Monotonie zeigen. Da weiß ich jedoch nicht so recht, wie ich anfangen soll.
Kann mir jemand nen Tipp geben?
Vielen Dank schonmal, Wiebke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:18 Mo 27.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Überprüfen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf
> Existenz und begründen Sie ihre Antwort.
>
> a) [mm]\int_{0}^{\infty} \bruch{|sin(x)|}{x}\,[/mm] dx
>
> b) [mm]\int_{0}^{\infty} \bruch{sin(x)}{x}\,[/mm] dx
> Hallo!
> Also ich habe einen Ansatz gefunden, danach weiß ich aber
> nicht weiter..
> zu a)
> Also ich habe hier in einem Buch den Hinweis gefunden,
> dass es reicht zu zeigen, dass
> das Integral
> [mm]\int_{\pi}^{\infty} \bruch{|sin(x)|}{x}\,[/mm] dx nicht
> existiert, sie betrachten dies nun als Folge
>
> [mm]\forall n\in \IN[/mm] : [mm]I_n[/mm] := [mm]\int_{\pi}^{(n+1)\pi} \bruch{|sin(x)|}{x}\,[/mm]
> dx
>
> und zeigen, dass sie beschränkt ist, da konvergente Folgen
> beschränkt sind und damit nicht beschränkte Folgen
> divergent.
> Ich bin mir nicht so sicher, warum ich einfach das
> Integral als Folge betrachten darf und warum die obere
> Integralgrenze so gewält wird? Kann mir das jemand
> erklären?
>
> Danach werden Umformungen gemacht, die ich zum Teil nicht
> nachvollziehen kann:
> [mm]I_n[/mm] = [mm]\int_{ \pi }^{(n+1) \pi} \bruch{|sin(x)|}{x}\,[/mm] dx
>
> = [mm]\sum_{k=1}^{n} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \bruch{|sin(x)|}{x}\,[/mm]
> dx
> Hier verstehe ich nicht, warum ich das so als Summe
> schreiben darf?
Darf man auch nicht. Ich schätze, du hast hier zu übermütig zitiert, das letzte Gleichheitszeichen passt nicht.
Das [mm] I_n [/mm] ist nur ein einzelner Summand (die Fläche von Nullstelle zu Nullstelle) während die Summe die Summe aller [mm] I_n [/mm] sein muss.
Es werden einfach alle Flächen addiert (siehe Abbildung)
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 2 (fehlt/gelöscht)]
Das sind keine reinen Sinuskurvenstücke, weil durch das "geteilt durch x" die Werte am Ende des Intervalls kleiner sind als am Anfang jedes Intervalls. Allerdings kann man die Anfangswerte durch die kleineren Endwerte abschätzen (mann nimmt an, dass man im gesamten Intervall durch das größtmögliche "End-X" teilt und die Flächensumme trotzdem noch divergiert.
Gruß Abakus
>
> [mm]\ge \sum_{k=1}^{n} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \bruch{|sin(x)|}{(k+1)\pi}\,[/mm]
> dx
> Diese Abschätzung ist klar, es wird für x die obere Grenze
> eingesetzt, die damit immer größer ist.
>
> [mm]=\sum_{k=1}^{n} \bruch{1}{(k+1)\pi} \cdot \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}[/mm]
> |sin(x)| [mm]\,[/mm] dx
>
> = [mm]\bruch{1}{\pi} \sum_{k=1}^{n-1} \bruch{1}{k+1} \cdot \int_{0}^{\pi}[/mm]
> |sin(x)| [mm]\,[/mm] dx
> Ich denke man ändert die Grenzen da man sagt es reicht zu
> zeigen, dass der Graph für die eine Periode existiert,
> damit der gesamt Graph existiert.
>
> = [mm]\bruch{1}{\pi} \sum_{k=1}^{n-1} \bruch{1}{k+1} \cdot[/mm]
> [(-cos x] (mit oberer Grenze [mm]\pi[/mm] und unterer Grenze 0)
> Ich habe mir das aufgemalt und dann sieht man schon, dass
> -cos die Stammfunktion für |sin(x)|, aber kann man dass
> auch anders begründen?
>
> = [mm]\bruch{1}{\pi} \sum_{k=1}^{n-1} \bruch{1}{k+1} \cdot[/mm] 2
>
> = [mm]\bruch{2}{\pi} \sum_{k=1}^{n-1} \bruch{1}{k+1}[/mm]
>
> Und dann wird im Buch über die Unbeschränkheit der
> Partialsummenfolge der harmonischen Reihe argumentiert.
> Mir ist allerdings nur die harmonische Reihe bekannt. Kann
> mir da jemand weiterhelfen?
>
>
> nun zu b)
> Hier bin ich noch nicht so weit. Ich denke, dass das
> Integral existiert. Und dacht an den Satz, das beschränkte
> und monotone Folgen konvergieren.
> Dann müsste ich Beschränktheit und Monotonie zeigen. Da
> weiß ich jedoch nicht so recht, wie ich anfangen soll.
> Kann mir jemand nen Tipp geben?
>
> Vielen Dank schonmal, Wiebke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:26 Mo 27.04.2009 | | Autor: | abakus |
> > Überprüfen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf
> > Existenz und begründen Sie ihre Antwort.
> >
> > a) [mm]\int_{0}^{\infty} \bruch{|sin(x)|}{x}\,[/mm] dx
> >
> > b) [mm]\int_{0}^{\infty} \bruch{sin(x)}{x}\,[/mm] dx
> > Hallo!
> > Also ich habe einen Ansatz gefunden, danach weiß ich
> aber
> > nicht weiter..
> > zu a)
> > Also ich habe hier in einem Buch den Hinweis gefunden,
> > dass es reicht zu zeigen, dass
> > das Integral
> > [mm]\int_{\pi}^{\infty} \bruch{|sin(x)|}{x}\,[/mm] dx nicht
> > existiert, sie betrachten dies nun als Folge
> >
> > [mm]\forall n\in \IN[/mm] : [mm]I_n[/mm] := [mm]\int_{\pi}^{(n+1)\pi} \bruch{|sin(x)|}{x}\,[/mm]
> > dx
> >
> > und zeigen, dass sie beschränkt ist, da konvergente Folgen
> > beschränkt sind und damit nicht beschränkte Folgen
> > divergent.
> > Ich bin mir nicht so sicher, warum ich einfach das
> > Integral als Folge betrachten darf und warum die obere
> > Integralgrenze so gewält wird? Kann mir das jemand
> > erklären?
> >
> > Danach werden Umformungen gemacht, die ich zum Teil nicht
> > nachvollziehen kann:
> > [mm]I_n[/mm] = [mm]\int_{ \pi }^{(n+1) \pi} \bruch{|sin(x)|}{x}\,[/mm]
> dx
> >
> > = [mm]\sum_{k=1}^{n} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \bruch{|sin(x)|}{x}\,[/mm]
> > dx
> > Hier verstehe ich nicht, warum ich das so als Summe
> > schreiben darf?
> Darf man auch nicht. Ich schätze, du hast hier zu
> übermütig zitiert, das letzte Gleichheitszeichen passt
> nicht.
> Das [mm]I_n[/mm] ist nur ein einzelner Summand (die Fläche von
> Nullstelle zu Nullstelle) während die Summe die Summe aller
> [mm]I_n[/mm] sein muss.
> Es werden einfach alle Flächen addiert (siehe Abbildung)
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Das sind keine reinen Sinuskurvenstücke, weil durch das
> "geteilt durch x" die Werte am Ende des Intervalls kleiner
> sind als am Anfang jedes Intervalls. Allerdings kann man
> die Anfangswerte durch die kleineren Endwerte abschätzen
> (mann nimmt an, dass man im gesamten Intervall durch das
> größtmögliche "End-X" teilt und die Flächensumme trotzdem
> noch divergiert.
> Gruß Abakus
>
>
> >
> > [mm]\ge \sum_{k=1}^{n} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \bruch{|sin(x)|}{(k+1)\pi}\,[/mm]
> > dx
> > Diese Abschätzung ist klar, es wird für x die obere Grenze
> > eingesetzt, die damit immer größer ist.
> >
> > [mm]=\sum_{k=1}^{n} \bruch{1}{(k+1)\pi} \cdot \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}[/mm]
> > |sin(x)| [mm]\,[/mm] dx
> >
> > = [mm]\bruch{1}{\pi} \sum_{k=1}^{n-1} \bruch{1}{k+1} \cdot \int_{0}^{\pi}[/mm]
> > |sin(x)| [mm]\,[/mm] dx
> > Ich denke man ändert die Grenzen da man sagt es reicht zu
> > zeigen, dass der Graph für die eine Periode existiert,
> > damit der gesamt Graph existiert.
> >
> > = [mm]\bruch{1}{\pi} \sum_{k=1}^{n-1} \bruch{1}{k+1} \cdot[/mm]
> > [(-cos x] (mit oberer Grenze [mm]\pi[/mm] und unterer Grenze 0)
> > Ich habe mir das aufgemalt und dann sieht man schon,
> dass
> > -cos die Stammfunktion für |sin(x)|, aber kann man dass
> > auch anders begründen?
> >
> > = [mm]\bruch{1}{\pi} \sum_{k=1}^{n-1} \bruch{1}{k+1} \cdot[/mm] 2
> >
> > = [mm]\bruch{2}{\pi} \sum_{k=1}^{n-1} \bruch{1}{k+1}[/mm]
> >
> > Und dann wird im Buch über die Unbeschränkheit der
> > Partialsummenfolge der harmonischen Reihe argumentiert.
> > Mir ist allerdings nur die harmonische Reihe bekannt.
> Kann
> > mir da jemand weiterhelfen?
> >
> >
> > nun zu b)
> > Hier bin ich noch nicht so weit. Ich denke, dass das
> > Integral existiert. Und dacht an den Satz, das beschränkte
> > und monotone Folgen konvergieren.
> > Dann müsste ich Beschränktheit und Monotonie zeigen. Da
> > weiß ich jedoch nicht so recht, wie ich anfangen soll.
> > Kann mir jemand nen Tipp geben?
> >
> > Vielen Dank schonmal, Wiebke
>
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo!
Danke jetzt ist mir einiges klarer geworden. Allerdings hänge ich noch an einer Stelle, die mir noch nicht einleuchen will.
Und zwar soll gelten, dass:
[mm]=\sum_{k=1}^{n} \bruch{1}{(k+1)\pi} \cdot \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}[/mm] |sin(x)| [mm]\,[/mm] dx
= [mm]\bruch{1}{\pi} \sum_{k=1}^{n-1} \bruch{1}{k+1} \cdot \int_{0}^{\pi}[/mm] |sin(x)| [mm]\,[/mm] dx
Ich habe es zunächst so verstanden, dass einfach [mm] \bruch{1}{\pi} [/mm] aus der Summe gezogen wird und dass man die Integralgrenzen verändert, da man sagt, dass |sin(x)| periodisch ist und es daher die Inegrale von Nullstelle bis Nullstelle jeweils gleich sind, es also egal ist, ob ich verschiedene Abschnitte betrachte oder immer denselben. Daher kann ich als Grenzen auch immer 0 und [mm] \pi [/mm] wählen. Das kommt auch soweit hin, nur verstehe ich nicht, wieso dann die Summe verändert wird?
Denn man hat dann ja die Glieder [mm] \bruch{1}{2}, \bruch{1}{3}, [/mm] .... , [mm] \bruch{1}{n} [/mm] statt wie vorher bis [mm] \bruch{1}{n+1}. [/mm] Das würde ja heißen, dass man ein Glied verlieren würde oder?
Kann es sein, dass das n-1 über der Summe daher einfach ein Tippfehler ist?
Lieben Gruß, Wiebke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 01.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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