Existenz von Grenzwerten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:07 Mi 29.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Existenz folgender Grenzwerte.
a) [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{x^{2}*y^{2}}{x^{2}*y^{2}+(x-y)^{2}}
[/mm]
b) [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{x^{2}*y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
c) [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{ln(x+e^{y})}{x^{2}+y^{2}} [/mm] |
Guten Morgen,
ich habe die Grenzwerte unersucht, es wäre lieb, wenn das jemand überprüfen könnte.
a) Es gilt: [mm] \bruch{x^{2}*y^{2}}{x^{2}*y^{2}+(x-y)^{2}}=\bruch{1}{1+\bruch{1}{y^{2}}-\bruch{2}{y*x}+\bruch{1}{x^{2}}}.
[/mm]
Und da 1 [mm] \to [/mm] 1, [mm] \bruch{1}{y^{2}} \to \infty, -\bruch{2}{y*x} \to \infty, \bruch{1}{x^{2}} \to \infty [/mm] gilt ( für x [mm] \to [/mm] 0 und y [mm] \to [/mm] 0), folgt, dass [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{x^{2}*y^{2}}{x^{2}*y^{2}+(x-y)^{2}}=0 [/mm] ist.
b) Hier habe ich analog gerechnet. Es gilt [mm] \bruch{x^{2}*y^{2}}{x^{2}*y^{2}}=\bruch{1}{\bruch{1}{y^{2}}+\bruch{1}{x^{2}}}.
[/mm]
Und das konvergiert auch gegen Null.
Ein anderer Ansatz war folgender, aber der hat mir nicht sonderlich geholfen: Es gilt [mm] \bruch{xy}{x^{2}*y^{2}} \le [/mm] 0.5.
c) Es gilt [mm] e^{y} \to [/mm] 1 für y [mm] \to [/mm] 0, x [mm] \to [/mm] 0 für x [mm] \to [/mm] 0 und [mm] ln(x+e^{y}) \to [/mm] 0 für (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0).
Außerdem gilt [mm] x^{2}+y^{2} \to [/mm] 0 für (x,y) [mm] \to [/mm] 0.
Also wieder Konvergenz gegen 0. Der Taschenrechner sagt aber, dass der Grenzwert nicht existiert.
Wie kann man sich das erklären?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 Mi 29.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
a) und b) sehen sehr gut aus, bei Aufgabe c) ist der Fehler bei dem ln.
ln(0) ist nicht definiert, und es gilt:
[mm] \lim_{x\to0^{+}}\ln(x)=-\infty
[/mm]
Marius
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Hallo zusammen,
die Auwertung des Grenzwertes bei Teilaufgabe a) kann meiner Ansicht nach nicht stimmen, weil im Nenner mit dem undefinierten Ausdruck [mm] \infty-\infty [/mm] gerechnet wird.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:32 Mi 29.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Diophant.
> Hallo zusammen,
>
> die Auwertung des Grenzwertes bei Teilaufgabe a) kann
> meiner Ansicht nach nicht stimmen, weil im Nenner mit dem
> undefinierten Ausdruck [mm]\infty-\infty[/mm] gerechnet wird.
Das könnte in der Tat ein Problem sein, ich hatte das - als ein + angesehen.
>
> Gruß, Diophant
Marius
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Hallo Mandy,
wie Diophant zu Recht vermutet, besitzt die in Aufgabe a) gegebene Funktion keinen Grenzwert in (0,0).
> a) [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{x^{2}*y^{2}}{x^{2}*y^{2}+(x-y)^{2}}[/mm]
>
> ich habe die Grenzwerte unersucht, es wäre lieb, wenn das
> jemand überprüfen könnte.
>
> a) Es gilt:
> [mm]\bruch{x^{2}*y^{2}}{x^{2}*y^{2}+(x-y)^{2}}=\bruch{1}{1+\bruch{1}{y^{2}}-\bruch{2}{y*x}+\bruch{1}{x^{2}}}.[/mm]
>
> Und da 1 [mm]\to[/mm] 1, [mm]\bruch{1}{y^{2}} \to \infty, -\bruch{2}{y*x} \to \infty, \bruch{1}{x^{2}} \to \infty[/mm]
> gilt ( für x [mm]\to[/mm] 0 und y [mm]\to[/mm] 0), folgt, dass
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{x^{2}*y^{2}}{x^{2}*y^{2}+(x-y)^{2}}=0[/mm]
> ist.
Setz mal x=0 und lass [mm] y\to{0} [/mm] laufen, oder umgekehrt. In beiden Fällen ist der Grenzwert 0.
Zweiter Versuch: setze x=y, dann ist der Grenzwert 1.
Das sieht doch wenig vertrauenserweckend aus. 
Grüße
reverend
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